Determine se cada série abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n}}{n^{2 n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^{2n}}
converge ou diverge. Vamos usar um teste de convergência para séries de termos não negativos, neste caso o teste da raiz enésima.

Passo 2

Denotando o termo geral por
a_n = \frac{(n+1)^{n}}{n^{2n}},
temos a_n\ge0, então podemos aplicar o teste da raiz, que analisa
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.

Passo 3

Calculemos
\sqrt[n]{a_n} = \frac{(n+1)}{n^2} = \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}.
Logo,
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr) = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados