Determine se cada série abaixo converge ou diverge. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} \mathrm{e}^{-n^{3}}.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^{2}e^{-n^{3}}.
Aqui estamos em conteúdo de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para a série de termos absolutos, pois se ela convergir absolutamente então a série original também converge.
Como e^{-n^{3}} decai superexponencialmente (muito mais rápido que qualquer potência), já esperamos que \sum a_{n} convirja. Vamos confirmar isso pelo teste da razão.