Determine se cada série abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} \mathrm{e}^{-n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^{2}e^{-n^{3}}.
Aqui estamos em conteúdo de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para a série de termos absolutos, pois se ela convergir absolutamente então a série original também converge.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \bigl|(-1)^{n-1}n^{2}e^{-n^{3}}\bigr| = n^{2}e^{-n^{3}}.
Como e^{-n^{3}} decai superexponencialmente (muito mais rápido que qualquer potência), já esperamos que \sum a_{n} convirja. Vamos confirmar isso pelo teste da razão.

Passo 3

Calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{2}e^{-(n+1)^{3}}}{n^{2}e^{-n^{3}}} = \Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{2} e^{\,n^{3} - (n+1)^{3}}.
Como
(n+1)^{3} = n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1,
temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{2} e^{-3n^{2}-3n-1}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 \cdot \lim_{n\to\infty}e^{-3n^{2}-3n-1} = 0.
Como esse limite é menor que 1, pelo teste da razão a série \sum a_{n} converge. Logo a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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