Considere a função real de variável real dada pela fórmula , e cujo domínio é .
a) (1,0 pt) Desdobre-a em uma função com várias sentenças.
b) ( ) Construa o seu gráfico.
c) (0,5 pt) Determine o seu conjunto-imagem.
d) (0,5 pt) Determine o subintervalo do domínio onde ela é CRESCENTE.
e) Trata-se uma função injetora? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para a função
a) escrevê-la em forma de várias sentenças (ou seja, em forma piecewise),
b) esboçar o gráfico,
c) achar o conjunto-imagem,
d) indicar onde ela é crescente,
e) decidir se é injetora.
Vamos usar propriedades de valor absoluto, análise de retas e monotonicidade de funções lineares.
Passo 2
Identificamos as raízes dos argumentos dos módulos: em e em . Assim há três regiões:
Para : e , logo
Para : e , logo
Para : e , logo
Portanto
Passo 3
O gráfico é a união de três segmentos de reta, com quebras em x=-3 e x=2,5, contínua pois em x=-3 temos -3(-3)+2=11 e em -x+8 também dá 11, e em x=2,5 ambas as expressões valem 5,5.
Retas:
Para encontrar o conjunto-imagem, observamos que à esquerda (xto-infty) e à direita (xto+infty) temos yto+infty. O valor mínimo ocorre no ponto de vale, que está em x=2,5, onde
y(2,5)=-2,5+8=5,5
ou vale o mesmo para 3x-2. Logo o image é
[5,5,,+infty)
Passo 5
As inclinações são:
-3 em (-infty,-3), -1 em [-3,2,5], +3 em (2,5,infty)
Portanto a função é decrescente até x=2,5 e crescente para x>2,5. O subintervalo de crescimento é
(2,5,,+infty)
Passo 6
Como para valores de y>11 há duas abscissas diferentes (uma em x< -3 e outra em x>2,5) que produzem o mesmo y, a função não é injetora.
Resposta
a) y = -3x + 2, & x < -3, -,x + 8, & -3 <= x <= 2,5, 3x - 2, & x > 2,5
b) Gráfico formado por três retas de inclinações -3, -1 e 3, com quinas em (-3,11) e (2,5,5,5).
c) [5,5,infty).
d) Crescente em (2,5,infty).
e) Não é injetora, pois há valores de y (por exemplo y=14) que ocorrem em dois x diferentes.