Considere a função real de variável real dada pela fórmula y=|x+3|+|5-2 x|, e cujo domínio é R.
a) (1,0 pt) Desdobre-a em uma função com várias sentenças.
b) ( 1,0 pt ) Construa o seu gráfico.
c) (0,5 pt) Determine o seu conjunto-imagem.
d) (0,5 pt) Determine o subintervalo do domínio onde ela é CRESCENTE.
e) (0,5 pt) Trata-se uma função injetora? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = |x+3| + |5 - 2x|, xinR
a) escrevê-la em forma de várias sentenças (ou seja, em forma piecewise),
b) esboçar o gráfico,
c) achar o conjunto-imagem,
d) indicar onde ela é crescente,
e) decidir se é injetora.
Vamos usar propriedades de valor absoluto, análise de retas e monotonicidade de funções lineares.

Passo 2

Identificamos as raízes dos argumentos dos módulos: x+3=0 em x=-3 e 5-2x=0 em x=2,5. Assim há três regiões:
  1. Para x< -3:
    ;x+3<0 e 5-2x>0, logo |x+3| = -(x+3), |5-2x| = 5-2x
y = -(x+3) + (5-2x) = -3x + 2
  1. Para -3 <= x <= 2,5:
    ;x+3>=0 e 5-2x>0, logo |x+3| = x+3, |5-2x| = 5-2x
y = (x+3) + (5-2x) = -x + 8
  1. Para x>2,5:
    ;x+3>0 e 5-2x<0, logo |x+3| = x+3, |5-2x| = -(5-2x) = 2x-5
y = (x+3) + (2x-5) = 3x - 2
Portanto
y = -3x + 2, & x < -3, -,x + 8, & -3 <= x <= 2,5, 3x - 2, & x > 2,5

Passo 3

O gráfico é a união de três segmentos de reta, com quebras em x=-3 e x=2,5, contínua pois em x=-3 temos -3(-3)+2=11 e em -x+8 também dá 11, e em x=2,5 ambas as expressões valem 5,5.
Retas:
y=-3x+2, & x<=-3, y=-x+8, & -3<= x<=2,5, y=3x-2, & x>=2,5

Passo 4

Para encontrar o conjunto-imagem, observamos que à esquerda ( xto-infty) e à direita ( xto+infty) temos yto+infty. O valor mínimo ocorre no ponto de vale, que está em x=2,5, onde
y(2,5)=-2,5+8=5,5
ou vale o mesmo para 3x-2. Logo o image é
[5,5,,+infty)

Passo 5

As inclinações são:
-3 em (-infty,-3), -1 em [-3,2,5], +3 em (2,5,infty)
Portanto a função é decrescente até x=2,5 e crescente para x>2,5. O subintervalo de crescimento é
(2,5,,+infty)

Passo 6

Como para valores de y>11 há duas abscissas diferentes (uma em x< -3 e outra em x>2,5) que produzem o mesmo y, a função não é injetora.

Resposta

a) y = -3x + 2, & x < -3, -,x + 8, & -3 <= x <= 2,5, 3x - 2, & x > 2,5
b) Gráfico formado por três retas de inclinações -3, -1 e 3, com quinas em (-3,11) e (2,5,5,5).
c) [5,5,infty).
d) Crescente em (2,5,infty).
e) Não é injetora, pois há valores de y (por exemplo y=14) que ocorrem em dois x diferentes.

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