Movimento ao longo de um círculo Cada uma das seguintes equações nos itens (a) a (d) descreve o movimento de uma partícula que tem a mesma trajetória, a saber, o círculo unitário x^2+y^2=1. Ainda que a trajetória de cada partícula nos itens (a) a (d) seja a mesma, o comportamento, ou “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às seguintes questões.
i) A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso positivo, qual é sua velocidade constante?
ii) O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii)A partícula se move em sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv) A partícula parte do ponto (1,0) ?
a. r(t)=(cos t) i+(sen t) j, t >= 0
b. r(t)=cos (2 t) i+sen(2 t) j, t >= 0
c. r(t)=cos (t-pi / 2) i+sen(t-pi / 2) j, t >= 0
d. r(t)=(cos t) i-(sen t) j, t >= 0

Passo 1

O enunciado apresenta quatro funções r(t) que descrevem o movimento de uma partícula no círculo unitário x^2+y^2=1. Vamos usar cálculo de derivadas para obter vetor velocidade v(t)= r'(t) e vetor aceleração a(t)= r''(t). Com isso, checamos:
  1. Se | v(t)| é constante e seu valor.
  2. Se v(t)perp a(t).
  3. O sentido de percor­rência (horário ou anti-horário), via sinal da variação angular.
  4. O ponto inicial r(0).

Passo 2

Calculamos e para cada item:
a)
b)
c)
d)

Passo 3

Calculamos :
a) .
b) .
c) como em (a), .
d) .

Passo 4

Checamos v(t)cdot a(t) para cada caso; em todos surge 0 (produtos como sen tcos t-cos tsen t), logo vperp a.

Passo 5

O sentido de movimento decorre da taxa angular:
a) ângulo theta=t cresce → sentido anti-horário.
b) theta=2t cresce → anti-horário.
c) theta=t-pi/2 cresce com t → anti-horário.
d) equivalentemente theta=-t decresce → sentido horário.

Passo 6

Avaliação em t=0:
a) r(0)=(1,0).
b) r(0)=(1,0).
c) r(0)=(cos(-pi/2),sen(-pi/2))=(0,-1).
d) r(0)=(1,0).

Resposta

(a) i) velocidade constante de 1. ii) sim. iii) sentido anti-horário. iv) sim.
(b) i) velocidade constante de 2. ii) sim. iii) sentido anti-horário. iv) sim.
(c) i) velocidade constante de 1. ii) sim. iii) sentido anti-horário. iv) não.
(d) i) velocidade constante de 1. ii) sim. iii) sentido horário. iv) sim.

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