Resolva as equacoes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Essa equação envolve derivadas e funções exponenciais, então vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a Equação de Bernoulli, que ajuda a resolver equações que têm termos como
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli. A equação original é:
Vamos isolar
:
Agora, ela está parecida com a forma de Bernoulli:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Na Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. Vamos definir:
Agora, derivamos
em relação a
:
Substituindo
da equação anterior:
Então, temos uma equação linear para
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição
, ou seja,
. Vamos substituir de volta:
Agora, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.