Resolva as equacoes:
(e^x+e^-x) d yd x-y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
(e^x + e^-x) d yd x - y^2 = 0
Essa equação envolve derivadas e funções exponenciais, então vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a Equação de Bernoulli, que ajuda a resolver equações que têm termos como y^n .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli. A equação original é:
(e^x + e^-x) y' - y^2 = 0
Vamos isolar y' :
y' = y^2e^x + e^-x
Agora, ela está parecida com a forma de Bernoulli:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, P(x) = 0 , Q(x) = 1e^x + e^-x , e n = 2 .

Passo 3

Na Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. Vamos definir:
z = y^1 - n = y^-1
Agora, derivamos z em relação a x :
z' = -y^-2 y'
Substituindo y' da equação anterior:
z' = -y^2e^x + e^-x cdot y^-2 = -1e^x + e^-x
Então, temos uma equação linear para z :
z' = -1e^x + e^-x

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar z :
z = -integral 1e^x + e^-x dx + C
Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Seja t = e^x , então dt = e^x dx ou dx = dtt . Substituindo na integral:
integral 1e^x + e^-x dx = integral 1t + 1t cdot dtt = integral 1t^2 + 1t cdot 1t dt = integral tt^2 + 1 cdot 1t dt = integral 1t^2 + 1 dt
A integral de 1t^2 + 1 é arctan(t) , então:
z = -arctan(e^x) + C

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição z = y^-1 , ou seja, z = 1y . Vamos substituir de volta:
1y = -arctan(e^x) + C
Agora, isolando y :
y = 1C - arctan(e^x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1C - arctan(e^x)
Onde C é a constante de integração.

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