Considere a função
f(x)=x^{3}-4 x-9
Resolva os itens abaixo utilizando o método da bisseção.
a) Determine um intervalo [a, b] que contenha uma raiz da equação
x^{3}-4 x-9=0
utilizando o critério de mudança de sinal.
b) A partir do intervalo encontrado no item a), aplique o método da bisseção para determinar uma aproximação da raiz considerando a tolerância \varepsilon=0,05.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas.
  • A função dada é f(x)=x^{3}-4x-9.
  • O enunciado pede duas coisas:a) Determinar um intervalo [a,b] que contenha uma raiz da equação x^{3}-4x-9=0 usando o critério de mudança de sinal.b) A partir do intervalo do item (a), aplicar o método da bisseção para obter uma aproximação da raiz com tolerância \varepsilon=0,05.
Não começo a resolver ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que tenho.

Passo 2

Critério de mudança de sinal (o que ele é e como usar).
  • Se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 em [a,b]. Esse é o critério de mudança de sinal.
  • A função polinomial f(x)=x^{3}-4x-9 é contínua em toda a reta, então posso procurar pares (a,b) onde os sinais de f(a) e f(b) sejam opostos.
Vou testar valores inteiros simples para encontrar uma mudança de sinal (escolha prática em prova).
Calcular:
f(2)=2^{3}-4\cdot 2-9=8-8-9=-9,
f(3)=3^{3}-4\cdot 3-9=27-12-9=6.
Aqui f(2)=-9<0 e f(3)=6>0, então f(2)\cdot f(3)<0. Pelo critério, existe pelo menos uma raiz em [2,3].
Portanto um intervalo adequado é [a,b]=[2,3].

Passo 3

O método da bisseção — explicação didática e critério de parada.
  • Ideia: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o método calcula o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}. Se f\text{(c)}=0 achou a raiz exata; se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a), substitui-se a por c; caso contrário substitui-se b por c. Repetir até alcançar precisão desejada.
  • Razão do erro: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}. O erro máximo na aproximação por c (distância da aproximação até a raiz real) é no máximo \dfrac{b-a}{2^{n+1}}. Um critério comum de parada para tolerância na variável (erro em x) é:
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon,
ou de forma equivalente parar quando b-a\le 2\varepsilon. Aqui \varepsilon=0,05, então queremos b-a\le 0,1.
  • Em cada iteração vamos calcular c e f\text{(c)}, verificar o sinal e reduzir o intervalo.

Passo 4

Aplicação prática da bisseção no intervalo inicial [2,3] até que b-a\le 0,1.
Iteração 1:
  • a=2,\quad b=3.
  • Ponto médio: c=\frac{a+b}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5.
  • Avaliar: f(2,5)=2,5^{3}-4\cdot 2,5-9=15,625-10-9=-3,375.
  • Sinal: f(2)=-9 e f(2,5)=-3,375 têm o mesmo sinal (negativo), logo a raiz está em [2,5,\,3] atualizado para [a,b]=[2,5,\,3] isto é [2,5,3] (escrevo com vírgula decimal em TeX: [2,5,3] -> melhor interpretar como [2,5,3] mas manterei formato numérico padrão: novo intervalo [2,5,\,3]). Formalmente: novo intervalo [a,b]=[2,5,\,3].
  • Comprimento do intervalo: b-a=3-2,5=0,5>0,1. Ainda não pare.
Iteração 2:
  • a=2,5,\quad b=3.
  • Ponto médio: c=\frac{2,5+3}{2}=2,75.
  • Avaliar: f(2,75)=2,75^{3}-4\cdot 2,75-9=20,796875-11-9=0,796875.
  • Sinal: f(2,5)=-3,375 e f(2,75)=0,796875 têm sinais opostos, então a raiz está em [2,5,\,2,75].
  • Comprimento: b-a=2,75-2,5=0,25>0,1. Ainda não pare.
Iteração 3:
  • a=2,5,\quad b=2,75.
  • Ponto médio: c=\frac{2,5+2,75}{2}=2,625.
  • Avaliar: f(2,625)=2,625^{3}-4\cdot 2,625-9=18,087890625-10,5-9=-1,412109375.
  • Sinal: f(2,5)=-3,375 e f(2,625)=-1,412109375 têm mesmo sinal (negativo), então novo intervalo [a,b]=[2,625,\,2,75].
  • Comprimento: b-a=2,75-2,625=0,125>0,1. Ainda não pare.
Iteração 4:
  • a=2,625,\quad b=2,75.
  • Ponto médio: c=\frac{2,625+2,75}{2}=2,6875.
  • Avaliar: f(2,6875)=2,6875^{3}-4\cdot 2,6875-9=19,410400390625-10,75-9=-0,339599609375.
  • Sinal: f(2,625)=-1,412109375 e f(2,6875)=-0,339599609375 têm mesmo sinal (negativo), então o novo intervalo é [a,b]=[2,6875,\,2,75].
  • Comprimento: b-a=2,75-2,6875=0,0625. Agora b-a=0,0625\le 0,1, logo satisfeito o critério b-a\le 2\varepsilon e consequentemente \dfrac{b-a}{2}\le \varepsilon. Podemos parar.
Observação sobre a aproximação: após a iteração final o intervalo que contém a raiz é [2,6875,\,2,75]. Uma escolha natural de aproximação é o ponto médio desse intervalo:
x_{\text{aprox}}=\frac{2,6875+2,75}{2}=2,71875.
O erro máximo garantido por bisseção é \dfrac{b-a}{2}= \dfrac{0,0625}{2}=0,03125\le 0,05, portanto a aproximação satisfaz a tolerância pedida.

Passo 5

Comentário motivador e resumo do processo (tipo “amigo que te anima”).
  • Pronto! Fizemos poucas iterações (apenas 4) porque começamos com um intervalo pequeno e a bisseção reduz o intervalo pela metade a cada iteração. A bisseção é um método robusto: sempre converge quando existe mudança de sinal, e aqui garantimos que o erro em x é menor que \varepsilon=0,05.
  • Se quiser mais precisão na prova, bastam mais iterações: cada iteração divide o comprimento do intervalo por 2, então a precisão cresce rapidamente.

Resposta

a) [2,3]
b) x\approx 2,71875 (aproximação com erro \le 0,05).

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