Considere a função
Resolva os itens abaixo utilizando o método da bisseção.
a) Determine um intervalo
que contenha uma raiz da equação
utilizando o critério de mudança de sinal.
b) A partir do intervalo encontrado no item a), aplique o método da bisseção para determinar uma aproximação da raiz considerando a tolerância
.
a) Determine um intervalo
b) A partir do intervalo encontrado no item a), aplique o método da bisseção para determinar uma aproximação da raiz considerando a tolerância
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas.
- A função dada é
- O enunciado pede duas coisas:a) Determinar um intervalo
que contenha uma raiz da equação usando o critério de mudança de sinal.b) A partir do intervalo do item (a), aplicar o método da bisseção para obter uma aproximação da raiz com tolerância .
Não começo a resolver ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que tenho.
Passo 2
Critério de mudança de sinal (o que ele é e como usar).
- Se
é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz de em . Esse é o critério de mudança de sinal. - A função polinomial
é contínua em toda a reta, então posso procurar pares onde os sinais de e sejam opostos.
Vou testar valores inteiros simples para encontrar uma mudança de sinal (escolha prática em prova).
Calcular:
Aqui
e
, então
. Pelo critério, existe pelo menos uma raiz em
.
Portanto um intervalo adequado é
.
Passo 3
O método da bisseção — explicação didática e critério de parada.
- Ideia: dado um intervalo
com , o método calcula o ponto médio . Se achou a raiz exata; se tem o mesmo sinal que , substitui-se por ; caso contrário substitui-se por . Repetir até alcançar precisão desejada. - Razão do erro: após
iterações o comprimento do intervalo é . O erro máximo na aproximação por (distância da aproximação até a raiz real) é no máximo . Um critério comum de parada para tolerância na variável (erro em ) é:
ou de forma equivalente parar quando
. Aqui
, então queremos
.
- Em cada iteração vamos calcular
e , verificar o sinal e reduzir o intervalo.
Passo 4
Aplicação prática da bisseção no intervalo inicial
até que
.
Iteração 1:
-
. - Ponto médio:
- Avaliar:
- Sinal:
e têm o mesmo sinal (negativo), logo a raiz está em atualizado para isto é (escrevo com vírgula decimal em TeX: -> melhor interpretar como mas manterei formato numérico padrão: novo intervalo ). Formalmente: novo intervalo . - Comprimento do intervalo:
. Ainda não pare.
Iteração 2:
-
. - Ponto médio:
- Avaliar:
- Sinal:
e têm sinais opostos, então a raiz está em . - Comprimento:
. Ainda não pare.
Iteração 3:
-
. - Ponto médio:
- Avaliar:
- Sinal:
e têm mesmo sinal (negativo), então novo intervalo . - Comprimento:
. Ainda não pare.
Iteração 4:
-
. - Ponto médio:
- Avaliar:
- Sinal:
e têm mesmo sinal (negativo), então o novo intervalo é . - Comprimento:
Agora , logo satisfeito o critério e consequentemente . Podemos parar.
Observação sobre a aproximação: após a iteração final o intervalo que contém a raiz é
. Uma escolha natural de aproximação é o ponto médio desse intervalo:
O erro máximo garantido por bisseção é
, portanto a aproximação satisfaz a tolerância pedida.
Passo 5
Comentário motivador e resumo do processo (tipo “amigo que te anima”).
- Pronto! Fizemos poucas iterações (apenas 4) porque começamos com um intervalo pequeno e a bisseção reduz o intervalo pela metade a cada iteração. A bisseção é um método robusto: sempre converge quando existe mudança de sinal, e aqui garantimos que o erro em
é menor que . - Se quiser mais precisão na prova, bastam mais iterações: cada iteração divide o comprimento do intervalo por 2, então a precisão cresce rapidamente.
Resposta
a)
b) (aproximação com erro
).
b)