Considere a função:
Utilize o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação acima. Considere o chute inicial
1 е
.
Passo 1
O enunciado dá a função
. Pede para aproximar uma raiz de
usando o método do ponto fixo, com chute inicial
e tolerância
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Chute inicial:
. - Critério de parada desejado:
(ou seja, parar quando a diferença entre iterações for menor que ). - Objetivo: obter uma aproximação de uma raiz de
por iterações de ponto fixo.
Passo 2
Transformação para ponto fixo: resolver
equivale a resolver
Então escolhemos a função de iteração
e a iteração do ponto fixo é
Explicando: aqui
é a aproximação atual e
é a próxima aproximação calculada aplicando
. A raiz buscada é um ponto fixo de
, isto é, um
tal que
.
Passo 3
Critério de convergência (intuição e verificação): para garantir convergência do método do ponto fixo por Banach, é suficiente que
seja contração num intervalo que contenha
. A derivada é
No intervalo
vale
. Além disso
e
. Portanto
é uma contração em
e as iterações a partir de
convergem para o único ponto fixo nesse intervalo. Isso garante que a sequência
converge para a raiz.
Passo 4
Critério de parada que vou usar: parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que
, isto é quando
Irei usar
(o enunciado pede
, então tomar exatamente
como critério de parada serve para garantir a tolerância exigida). Esse critério é prático e comum em ponto fixo: quando as iterações não mudam muito, já estamos suficientemente próximos do ponto fixo.
Passo 5
Calcular as iterações a partir de
usando
. Vou mostrar cada iteração e a diferença para a anterior (os cálculos numéricos são em radianos).
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Passo 9
Passo 10
Passo 11
Como a diferença entre
e
já é menor que
, podemos parar aqui. A sequência converge oscilando para o ponto fixo e atingimos a tolerância requerida.