Considere a função:
f(x)=\cos (x)-x
Utilize o método do ponto fixo para aproximar uma raiz da equação acima. Considere o chute inicial x_{0}= 1 е \epsilon<0,05.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\cos(x)-x. Pede para aproximar uma raiz de f(x)=0 usando o método do ponto fixo, com chute inicial x_0=1 e tolerância \epsilon<0,05.
Informações relevantes:
  • Função: \displaystyle f(x)=\cos(x)-x.
  • Chute inicial: \displaystyle x_0=1.
  • Critério de parada desejado: \displaystyle \epsilon<0,05 (ou seja, parar quando a diferença entre iterações for menor que 0,05).
  • Objetivo: obter uma aproximação de uma raiz de f(x)=0 por iterações de ponto fixo.

Passo 2

Transformação para ponto fixo: resolver f(x)=0 equivale a resolver
\cos(x)-x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\cos(x).
Então escolhemos a função de iteração
g(x)=\cos(x)
e a iteração do ponto fixo é
x_{n+1}=g(x_n)=\cos(x_n).
Explicando: aqui x_n é a aproximação atual e x_{n+1} é a próxima aproximação calculada aplicando g. A raiz buscada é um ponto fixo de g, isto é, um x tal que x=g(x).

Passo 3

Critério de convergência (intuição e verificação): para garantir convergência do método do ponto fixo por Banach, é suficiente que g seja contração num intervalo que contenha x_0. A derivada é
g'(x)=-\sin(x).
No intervalo [0,1] vale |g'(x)|=|\sin(x)|\le \sin(1)\approx0,84147<1. Além disso x_0=1 e g([0,1])\subset[\cos(1),1]\subset[0,1]. Portanto g é uma contração em [0,1] e as iterações a partir de x_0=1 convergem para o único ponto fixo nesse intervalo. Isso garante que a sequência (x_n) converge para a raiz.

Passo 4

Critério de parada que vou usar: parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que \epsilon, isto é quando
|x_{n+1}-x_n|<\epsilon.
Irei usar \epsilon=0,05 (o enunciado pede \epsilon<0,05, então tomar exatamente 0,05 como critério de parada serve para garantir a tolerância exigida). Esse critério é prático e comum em ponto fixo: quando as iterações não mudam muito, já estamos suficientemente próximos do ponto fixo.

Passo 5

Calcular as iterações a partir de x_0=1 usando x_{n+1}=\cos(x_n). Vou mostrar cada iteração e a diferença para a anterior (os cálculos numéricos são em radianos).
\displaystyle x_0=1.
\displaystyle x_1=\cos(1)\approx0,5403023059.
\displaystyle |x_1-x_0|\approx|0,5403023059-1|=0,4596976941. (maior que 0,05)

Passo 6

\displaystyle x_2=\cos(0,5403023059)\approx0,8575532158.
\displaystyle |x_2-x_1|\approx|0,8575532158-0,5403023059|=0,3172509099. (maior que 0,05)

Passo 7

\displaystyle x_3=\cos(0,8575532158)\approx0,6542897905.
\displaystyle |x_3-x_2|\approx|0,6542897905-0,8575532158|=0,2032634253. (maior que 0,05)

Passo 8

\displaystyle x_4=\cos(0,6542897905)\approx0,7934803587.
\displaystyle |x_4-x_3|\approx|0,7934803587-0,6542897905|=0,1391905682. (maior que 0,05)

Passo 9

\displaystyle x_5=\cos(0,7934803587)\approx0,7013687736.
\displaystyle |x_5-x_4|\approx|0,7013687736-0,7934803587|=0,0921115851. (maior que 0,05)

Passo 10

\displaystyle x_6=\cos(0,7013687736)\approx0,7639596829.
\displaystyle |x_6-x_5|\approx|0,7639596829-0,7013687736|=0,0625909093. (maior que 0,05)

Passo 11

\displaystyle x_7=\cos(0,7639596829)\approx0,7221024250.
\displaystyle |x_7-x_6|\approx|0,7221024250-0,7639596829|=0,0418572579. (agora é menor que 0,05)
Como a diferença entre x_7 e x_6 já é menor que \epsilon=0,05, podemos parar aqui. A sequência converge oscilando para o ponto fixo e atingimos a tolerância requerida.

Resposta

\displaystyle x\approx0,7221024250

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