Considere a função u(x, y)=ln (raizx^2+y^2+2) e responda os itens abaixo:
Determine a taxa de variação de f em (1,1) na direção do vetor u=(raiz3/2, 1/2).

Passo 1

Resumindo, temos a função
u(x,y)=lnl(raizx^2+y^2+2r)
e queremos a taxa de variação em (1,1) na direção do vetor unitário l(tfracraiz32,tfrac12r). O conteúdo aqui é cálculo de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para achar o gradiente nabla u, note que
u(x,y)=tfrac12lnl(x^2+y^2+2r)
Logo, as derivadas parciais são
ux=xx^2+y^2+2, uy=yx^2+y^2+2

Passo 3

Em (1,1) o denominador vale 1^2+1^2+2=4. Portanto
nabla u(1,1)=l(tfrac14,,tfrac14r)

Passo 4

Verificamos que o vetor de direção
l(tfracraiz32,tfrac12r)
é unitário, pois
raizl(tfracraiz32r)^2+l(tfrac12r)^2=1.

Passo 5

A derivada direcional de u em (1,1) na direção u é
D uu(1,1) =nabla u(1,1)cdotl(tfracraiz32,tfrac12r) =14cdotraiz32+14cdot12 =raiz3+18

Resposta

raiz3+18

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