Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de otimização aqui. A função que queremos analisar é
e ela está sujeita a uma restrição, que é
. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função usando os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica bem legal para resolver problemas de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Basicamente, essa técnica nos permite encontrar os pontos onde a função
atinge seus extremos (máximos ou mínimos) sob a condição de que uma certa restrição
seja satisfeita. No nosso caso,
.
Passo 3
A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A Lagrangiana fica assim:
Para o nosso problema, fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 5
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
E a derivada parcial em relação a
é simplesmente a restrição original:
Passo 8
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 9
Primeiro, da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos isso na segunda equação:
Fatorando
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou a expressão dentro do colchete igual a zero.
Passo 10
Vamos considerar primeiro
.
Se
, substituímos na restrição
:
Então, temos os pontos
e
.
Passo 11
Agora, vamos considerar a outra possibilidade, ou seja:
Vamos expandir essa expressão:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 13
Vamos analisar cada valor de
:
Para
:
Substituindo na primeira equação
.
Agora, substituímos
na restrição
:
Então,
.
Para
:
Substituindo na primeira equação
.
Agora, substituímos
na restrição
:
Então,
.
Passo 14
Agora, temos todos os pontos críticos:
Passo 15
Agora, precisamos avaliar a função
em cada um desses pontos para encontrar os valores máximo e mínimo.
Vamos calcular
para cada ponto:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Então, os valores máximos e mínimos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo:
- Mínimo: