Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x^2-2xy+3y^2; x^2+2y^2=1.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de otimização aqui. A função que queremos analisar é f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 e ela está sujeita a uma restrição, que é x^2 + 2y^2 = 1 . Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função usando os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica bem legal para resolver problemas de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Basicamente, essa técnica nos permite encontrar os pontos onde a função f(x, y) atinge seus extremos (máximos ou mínimos) sob a condição de que uma certa restrição g(x, y) = 0 seja satisfeita. No nosso caso, g(x, y) = x^2 + 2y^2 - 1 = 0 .

Passo 3

A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de lambda . A Lagrangiana fica assim:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y))
Para o nosso problema, fica:
L(x, y, lambda) = x^2 - 2xy + 3y^2 - lambda (x^2 + 2y^2 - 1)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x , y e lambda são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
partial Lpartial x = 0, partial Lpartial y = 0, partial Lpartial lambda = 0
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 5

Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial Lpartial x = 2x - 2y - lambda (2x) = 0
Simplificando:
2x - 2y - 2lambda x = 0 Rightarrow x(1 - lambda) - y = 0 Rightarrow x(1 - lambda) = y

Passo 6

Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial Lpartial y = -2x + 6y - lambda (4y) = 0
Simplificando:
-2x + 6y - 4lambda y = 0 Rightarrow -2x + y(6 - 4lambda) = 0 Rightarrow -2x + y(6 - 4lambda) = 0

Passo 7

E a derivada parcial em relação a lambda é simplesmente a restrição original:
partial Lpartial lambda = -(x^2 + 2y^2 - 1) = 0 Rightarrow x^2 + 2y^2 = 1

Passo 8

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. x(1 - lambda) = y
  2. -2x + y(6 - 4lambda) = 0
  3. x^2 + 2y^2 = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x , y e lambda .

Passo 9

Primeiro, da primeira equação, podemos expressar y em termos de x :
y = x(1 - lambda)
Agora, substituímos isso na segunda equação:
-2x + x(1 - lambda)(6 - 4lambda) = 0
Fatorando x :
x[-2 + (1 - lambda)(6 - 4lambda)] = 0
Isso nos dá duas possibilidades: x = 0 ou a expressão dentro do colchete igual a zero.

Passo 10

Vamos considerar primeiro x = 0 .
Se x = 0 , substituímos na restrição x^2 + 2y^2 = 1 :
0 + 2y^2 = 1 Rightarrow y^2 = 12 Rightarrow y = pm raiz22
Então, temos os pontos (0, raiz22) e (0, -raiz22) .

Passo 11

Agora, vamos considerar a outra possibilidade, ou seja:
-2 + (1 - lambda)(6 - 4lambda) = 0
Vamos expandir essa expressão:
-2 + 6(1 - lambda) - 4lambda(1 - lambda) = 0
Simplificando:
-2 + 6 - 6lambda - 4lambda + 4lambda^2 = 0 Rightarrow 4lambda^2 - 10lambda + 4 = 0

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática 4lambda^2 - 10lambda + 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 10 pm raiz100 - 648 = 10 pm raiz368 = 10 pm 68
Então, temos duas soluções para lambda :
lambda = 168 = 2 ou lambda = 48 = 0,5

Passo 13

Vamos analisar cada valor de lambda :
Para lambda = 2 :
Substituindo na primeira equação y = x(1 - 2) = -x .
Agora, substituímos y = -x na restrição x^2 + 2y^2 = 1 :
x^2 + 2x^2 = 1 Rightarrow 3x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1raiz3
Então, y = mp 1raiz3 .
Para lambda = 0,5 :
Substituindo na primeira equação y = x(1 - 0,5) = 0,5x .
Agora, substituímos y = 0,5x na restrição x^2 + 2(0,5x)^2 = 1 :
x^2 + 2(0,25x^2) = 1 Rightarrow x^2 + 0,5x^2 = 1 Rightarrow 1,5x^2 = 1 Rightarrow x = pm raiz2raiz3
Então, y = pm raiz22raiz3 .

Passo 14

Agora, temos todos os pontos críticos:
  1. (0, raiz22)
  2. (0, -raiz22)
  3. (1raiz3, -1raiz3)
  4. (-1raiz3, 1raiz3)
  5. (raiz2raiz3, raiz22raiz3)
  6. (-raiz2raiz3, -raiz22raiz3)

Passo 15

Agora, precisamos avaliar a função f(x, y) em cada um desses pontos para encontrar os valores máximo e mínimo.
Vamos calcular f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 para cada ponto:
  1. Para (0, raiz22) :
f = 0 - 0 + 3(raiz22)^2 = 3 cdot 24 = 32
  1. Para (0, -raiz22) :
f = 0 - 0 + 3(-raiz22)^2 = 32
  1. Para (1raiz3, -1raiz3) :
f = 13 - 2(1raiz3)(-1raiz3) + 3(1raiz3)^2 = 13 + 23 + 1 = 2
  1. Para (-1raiz3, 1raiz3) :
f = 13 - 2(-1raiz3)(1raiz3) + 3(1raiz3)^2 = 13 + 23 + 1 = 2
  1. Para (raiz2raiz3, raiz22raiz3) :
f = 23 - 2(raiz2raiz3)(raiz22raiz3) + 3(raiz22raiz3)^2 = 23 - 23 + 12 = 12
  1. Para (-raiz2raiz3, -raiz22raiz3) :
f = 23 - 2(-raiz2raiz3)(-raiz22raiz3) + 3(-raiz22raiz3)^2 = 23 - 23 + 12 = 12

Resposta

Então, os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 sujeitos à restrição x^2 + 2y^2 = 1 são:
  • Máximo: 2
  • Mínimo: 12

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