Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
74) sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

O exercício pede para estudar a convergência (absoluta e condicional) da série alternada sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries, em particular o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos dos termos: ak = k^2(k+2)!. Vamos aplicar o teste da razão, que diz que se L = limktoinfty ak+1ak < 1, então a série sum ak converge.

Passo 3

Calculando o quociente de termos consecutivos temos:
ak+1ak = (k+1)^2(k+3)!k^2(k+2)! = (k+1)^2k^2cdot(k+2)!(k+3)! = (k+1)^2k^2,(k+3)
Tomando o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty (k+1)^2k^2,(k+3) = limktoinfty k^2(1+2/k+1/k^2)k^3(1+3/k) = 0 < 1

Passo 4

Como o limite do teste da razão é menor que 1, a série sum ak = sum k^2(k+2)! converge. Isso significa que a série original converge absolutamente. Logo, não há apenas convergência condicional, mas sim convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, não converge apenas de forma condicional.

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