Determine o ponto de mínimo e o valor mínimo da função
onde
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos encontrar o ponto de mínimo e o valor mínimo da função
, onde
e
são maiores que zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e otimização de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (possíveis pontos de mínimo), igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2).
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Como
,
, então:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a expressão que obtivemos anteriormente:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o valor mínimo da função
, substituímos
e
na função original:
Resposta
O ponto de mínimo da função
é
e o valor mínimo da função é
.