Determine o ponto de mínimo e o valor mínimo da função g:(0, infty) times (0, infty) R onde
g(x, y)=14x^2+1y^2+xy^2

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos encontrar o ponto de mínimo e o valor mínimo da função g(x, y) = 14x^2 + 1y^2 + xy^2 , onde x e y são maiores que zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e otimização de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de g em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de g em relação a x é:
partial gpartial x = -12x^3 + y^2
A derivada parcial de g em relação a y é:
partial gpartial y = -2y^3 + 2xy

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (possíveis pontos de mínimo), igualamos as derivadas parciais a zero:
-12x^3 + y^2 = 0 (1)
-2y^3 + 2xy = 0 (2)

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2).
Da equação (1):
y^2 = 12x^3
y = raiz12x^3 = 1raiz2x^3/2
Substituindo y na equação (2):
-2(1raiz2x^3/2)^3 + 2x (1raiz2x^3/2) = 0
-212raiz2x^9/2 + 2xraiz2x^3/2 = 0
-4raiz2x^9/2 + 2raiz2x^-1/2 = 0
-4raiz2x^9/2 + raiz2x^-1/2 = 0
raiz2x^-1/2(1 - 4x^5) = 0
Como x > 0 , raiz2x^-1/2 neq 0 , então:
1 - 4x^5 = 0
4x^5 = 1
x^5 = 14
x = (14)^1/5 = 14^1/5

Passo 5

Agora que encontramos x = 14^1/5 , vamos encontrar y usando a expressão que obtivemos anteriormente:
y = 1raiz2(14^1/5)^3/2 = 1raiz2 cdot 4^3/10

Passo 6

Finalmente, para encontrar o valor mínimo da função g(x, y) , substituímos x e y na função original:
g(14^1/5, 4^3/10raiz2) = 14(14^1/5)^2 + 1(4^3/10raiz2)^2 + (14^1/5)(4^3/10raiz2)^2
= 14 cdot 4^2/5 + 14^6/102 + 14^1/5 cdot 4^6/102
= 4^2/54 + 24^3/5 + 4^6/10 - 1/52
= 4^2/54 + 24^3/5 + 4^3/52
= 14^3/5 + 24^3/5 + 4^3/52 = 34^3/5 + 4^3/52

Resposta

O ponto de mínimo da função g(x, y) é (14^1/5, 4^3/10raiz2) e o valor mínimo da função é 34^3/5 + 4^3/52 .

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