Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado e na direção do vetor u=(raiz22, raiz22).
f(x, y)=ye^-x, P=(0,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = y e^-x no ponto P = (0, 4) na direção do vetor u = (raiz22, raiz22) . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de f na direção de u é dada por:
Du f = nabla f cdot u
Aqui, nabla f é o gradiente da função f e cdot representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente nabla f . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = partialpartial x ( y e^-x ) = -y e^-x
partial fpartial y = partialpartial y ( y e^-x ) = e^-x
Então, o gradiente é:
nabla f = ( -y e^-x, e^-x )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P = (0, 4) :
nabla f(0, 4) = ( -4 e^0, e^0 ) = ( -4, 1 )
Lembre-se que e^0 = 1 .

Passo 5

Com o gradiente no ponto P e o vetor direção u , podemos calcular a derivada direcional:
Du f = nabla f(0, 4) cdot u = (-4, 1) cdot (raiz22, raiz22)
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
Du f = (-4) cdot raiz22 + 1 cdot raiz22 = (-4 + 1) raiz22 = -3 cdot raiz22

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P = (0, 4) na direção de u = (raiz22, raiz22) é -3raiz22 .

Exercícios relacionados