Determine a derivada direcional da função
no ponto
dado e na direção do vetor
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
e
representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Lembre-se que
.
Passo 5
Com o gradiente no ponto
e o vetor direção
, podemos calcular a derivada direcional:
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.