Considere a função f(x)=rllx^2, & se & x <= 1 1, & se & x>1
a) f é contínua em x=1 ?
b) f é derivável em x=1 ?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2,&se x<=1, 1,&se x>1,
e pergunta se f é contínua e se é derivável em x=1. Para isso precisamos usar as definições de continuidade (limites laterais iguais a f(1)) e de derivabilidade (limites laterais do quociente diferencial coincidentes).

Passo 2

Verificamos continuidade em x=1.
O valor da função é
f(1)=1^2=1
O limite pela esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1
O limite pela direita é
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1
Como ambos os limites valem 1 e coincidem com f(1), concluímos que f é contínua em x=1.

Passo 3

Agora analisamos derivabilidade em x=1 usando derivadas unilaterais.
Derivada pela esquerda:
f'-(1) =limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)^2-1h =limhto0^-2h+h^2h =limhto0^-(2+h) =2
Derivada pela direita:
f'+(1) =limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+1-1h =0
Como f'-(1)=2neq0=f'+(1), as derivadas unilaterais são diferentes e f não é derivável em x=1.

Resposta

a) Sim, f é contínua em x=1.
b) Não, f não é derivável em x=1.

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