Considere a função
a) f é contínua em x=1 ?
b) f é derivável em x=1 ?
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2,&se x<=1, 1,&se x>1,
e pergunta se f é contínua e se é derivável em x=1. Para isso precisamos usar as definições de continuidade (limites laterais iguais a f(1)) e de derivabilidade (limites laterais do quociente diferencial coincidentes).
Passo 2
Verificamos continuidade em x=1.
O valor da função é
f(1)=1^2=1
O limite pela esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1
O limite pela direita é
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1
Como ambos os limites valem 1 e coincidem com f(1), concluímos que f é contínua em x=1.
Passo 3
Agora analisamos derivabilidade em x=1 usando derivadas unilaterais.