Usando retângulos cujas alturas sejam dadas pelo valor da função no ponto médio da base do retângulo (regra do ponto médio), estime a área sob as curvas das seguintes funções, utilizando primeiro, dois e depois quatro, retângulos.
f(x)=x^2 entre x=0 e x=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos aproximar a área sob f(x)=x^2 no intervalo [0,1] usando a regra do ponto médio, que consiste em dividir [a,b] em n subintervalos de largura De<a x e construir retângulos cuja altura é f avaliada no ponto médio de cada subintervalo. Neste exercício, faremos primeiro com n=2 e depois com n=4.

Passo 2

Para n=2, temos
De<a x = 1-02 = 0,5
Os pontos médios de cada subintervalo são
bar x1 = 0 + tfracDe<a x2 = 0,25, bar x2 = 0,5 + tfracDe<a x2 = 0,75
As alturas dos retângulos são f(bar x1) = (0,25)^2 = 0,0625 e f(bar x2) = (0,75)^2 = 0,5625. Portanto, a soma de Riemann pelo ponto médio é
sumi=1^2 f(bar xi),De<a x = (0,0625 + 0,5625)cdot 0,5 = 0,3125

Passo 3

Para n=4, temos
De<a x = 1-04 = 0,25
Os pontos médios são
bar x1 = 0,125, bar x2 = 0,375, bar x3 = 0,625, bar x4 = 0,875
As alturas são
f(bar x1) = (0,125)^2 = 0,015625, f(bar x2) = (0,375)^2 = 0,140625,
f(bar x3) = (0,625)^2 = 0,390625, f(bar x4) = (0,875)^2 = 0,765625
Somando as áreas:
sumi=1^4 f(bar xi),De<a x = (0,015625 + 0,140625 + 0,390625 + 0,765625)cdot 0,25 = 1,3125 cdot 0,25 = 0,328125

Resposta

Para n=2: aproximação =0,3125.
Para n=4: aproximação =0,328125.

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