Determine a solução geral dos sistemas abaixo.
(4,0 pontos) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 4 & 0 x
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Esses conceitos vêm da álgebra linear e são essenciais para resolver sistemas lineares como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios. Então, montamos:
Então, podemos escolher x2 = t , logo x3 = 2t . O vetor próprio é:
v2 = 0 t 2t
Para simplicidade, escolhendo t = 1 :
v2 = 0 1 2
Passo 4
Finalmente, para lambda3 = -2 , já encontramos um vetor próprio v1 . Note que lambda1 e lambda3 são iguais, então temos um valor próprio múltiplo. Nesse caso, precisamos verificar se há vetores próprios adicionais ou se precisamos considerar soluções generalizadas.
Como a matriz é diagonalizável (há três vetores próprios distintos ou suficientes para a multiplicidade), vamos assumir que temos soluções lineares independentes.
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada valor próprio. Cada solução tem a forma: