Determine a solução geral dos sistemas abaixo.
(4,0 pontos)
x^prime=(ccc-2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 4 & 0) x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 4 & 0 x
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Esses conceitos vêm da álgebra linear e são essenciais para resolver sistemas lineares como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios. Então, montamos:
A - lambda I = -2 - lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 4 & -lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det -lambda & 1 4 & -lambda = (-2 - lambda)((-lambda)(-lambda) - (1)(4)) = (-2 - lambda)(lambda^2 - 4)
Igualando a zero:
(-2 - lambda)(lambda^2 - 4) = 0
Portanto, temos os valores próprios:
lambda1 = -2, lambda2 = 2, lambda3 = -2

Passo 3

Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios associados a cada lambda .
Para lambda1 = -2 :
Resolvemos (A + 2I)x = 0 :
0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 x1 x2 x3 = 0 0 0
Isso nos dá as equações:
2x2 + x3 = 0 4x2 + 2x3 = 0
A segunda equação é redundante. Então, podemos escolher x3 = t , então x2 = -12t e x1 é livre, digamos x1 = s . Portanto, o vetor próprio é:
v1 = s -12t t
Para simplicidade, podemos escolher s = 0 e t = 1 , então:
v1 = 0 -12 1
Para lambda2 = 2 :
Resolvemos (A - 2I)x = 0 :
-4 & 0 & 0 0 & -2 & 1 0 & 4 & -2 x1 x2 x3 = 0 0 0
Isso nos dá as equações:
-4x1 = 0 Rightarrow x1 = 0 -2x2 + x3 = 0 Rightarrow x3 = 2x2 4x2 - 2x3 = 0 Rightarrow 4x2 - 4x2 = 0 (redundante)
Então, podemos escolher x2 = t , logo x3 = 2t . O vetor próprio é:
v2 = 0 t 2t
Para simplicidade, escolhendo t = 1 :
v2 = 0 1 2

Passo 4

Finalmente, para lambda3 = -2 , já encontramos um vetor próprio v1 . Note que lambda1 e lambda3 são iguais, então temos um valor próprio múltiplo. Nesse caso, precisamos verificar se há vetores próprios adicionais ou se precisamos considerar soluções generalizadas.
Como a matriz é diagonalizável (há três vetores próprios distintos ou suficientes para a multiplicidade), vamos assumir que temos soluções lineares independentes.

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada valor próprio. Cada solução tem a forma:
x(t) = v e^lambda t
Então, juntando todas as soluções:
x(t) = c1 0 -12 1 e^-2t + c2 0 1 2 e^2t
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = c1 0 -12 1 e^-2t + c2 0 1 2 e^2t
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

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