Usando retângulos cujas alturas sejam dadas pelo valor da função no ponto médio da base do retângulo (regra do ponto médio), estime a área sob as curvas das seguintes funções, utilizando primeiro, dois e depois quatro, retângulos.
f(x)=x^3 entre x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área sob a curva de f(x)=x^3 em [0,1] usando a regra do ponto médio com n=2 e depois com n=4 retângulos. O conteúdo é aproximação de integral definida por somatório de áreas de retângulos cuja altura é f no ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

Para n=2 subdividimos [0,1] em dois subintervalos de largura
De<a x=1-02=tfrac12=0,5
Os pontos médios são
x1^*=0+ tfracDe<a x2=0,25, x2^*=0+tfrac3De<a x2=0,75
Calculando as alturas:
f(0,25)=(0,25)^3=0,015625, f(0,75)=(0,75)^3=0,421875
Logo a aproximação é
A2=De<a xl(f(0,25)+f(0,75)r) =0,5,(0,015625+0,421875) =0,21875

Passo 3

Para n=4 temos
De<a x=1-04=0,25
e os pontos médios
x1^*=0,125,;x2^*=0,375,;x3^*=0,625,;x4^*=0,875
As alturas são
f(0,125)=(0,125)^3=0,001953125,; f(0,375)=(0,375)^3=0,052734375,
f(0,625)=(0,625)^3=0,244140625,; f(0,875)=(0,875)^3=0,669921875
Somando e multiplicando por De<a x:
A4=0,25l(0,001953125+0,052734375+0,244140625+0,669921875r) =0,25cdot0,96875 =0,2421875

Resposta

Com 2 retângulos: 0,21875
Com 4 retângulos: 0,2421875

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