Considere a função
a) f é derivável em x=1 ?
b) f é contínua em x=1 ?
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2, & x<=1, 2x-1, & x>1,
e pede para verificar (a) se f é derivável em x=1 e (b) se f é contínua em x=1. Vamos usar o teste de limites para continuidade e comparar as derivadas laterais para derivabilidade.
Passo 2
Para checar a continuidade em x=1 calculamos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x-1)=2cdot1-1=1,
e o valor da própria função em x=1 é
f(1)=1^2=1
Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1, concluímos que f é contínua em x=1.
Passo 3
Para verificar a derivabilidade em x=1 comparamos as derivadas laterais. Para x<1, f(x)=x^2 é diferenciável com
f'(x)=2x,
logo
f'(1^-)=2cdot1=2
Para x>1, f(x)=2x-1 dá
f'(x)=2,
portanto
f'(1^+)=2
Como as derivadas laterais coincidem (2=2), f é diferenciável em x=1.
Resposta
a) Sim, f é derivável em x=1.
b) Sim, f é contínua em x=1.