Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(1+cos ^2 x)^sin x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(1+cos^2 xr)^sin x
Aqui temos uma função na forma g(x)^h(x), então a gente usa derivação logarítmica. Lembrando que, se f(x)=g(x)^h(x), então
ln f(x)=h(x)ln g(x) e f'(x)f(x)=h'(x)ln g(x)+h(x),g'(x)g(x)

Passo 2

Definimos
g(x)=1+cos^2 x, h(x)=sin x
Aplicando a fórmula da derivação logarítmica, temos
f'(x)f(x) = h'(x)ln g(x) + h(x),g'(x)g(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de h e g:
h'(x)=cos x, g'(x)=ddxl(1+cos^2 xr) =2cos xcdot(-sin x) =-2sin xcos x
Substituindo em f'f,
f'(x)f(x) =cos xlnl(1+cos^2 xr) +sin xcdot-2sin xcos x1+cos^2 x =cos xlnl(1+cos^2 xr) -2sin^2 xcos x1+cos^2 x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por f(x)=(1+cos^2 x)^sin x, obtemos
f'(x) =(1+cos^2 x)^sin xgl[cos xlnl(1+cos^2 xr) -2sin^2 xcos x1+cos^2 xgr]

Resposta

f'(x) =(1+cos^2 x)^sin xgl[cos xlnl(1+cos^2 xr) -2sin^2 xcos x1+cos^2 xgr]

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