Usando retângulos cujas alturas sejam dadas pelo valor da função no ponto médio da base do retângulo (regra do ponto médio), estime a área sob as curvas das seguintes funções, utilizando primeiro, dois e depois quatro, retângulos.
f(x)=4-x^2 entre x=-2 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a área sob a curva da função
f(x)=4 - x^2
no intervalo [-2,2] usando a regra do ponto médio, primeiro com n=2 retângulos e depois com n=4 retângulos. Vamos usar o fato de que a aproximação é dada por
integrala^b f(x),dx approx sumi=1^n f(xi),De<a x
onde De<a x=(b-a)/n e xi é o ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

Aplicando a regra do ponto médio, calculamos
De<a x = b-an, xi = a + l(i-tfrac12r)De<a x,
e depois somamos f(xi)De<a x para i=1,2,dots,n.

Passo 3

Caso n=2:
De<a x = 2 - (-2)2 = 2
Os dois subintervalos são [-2,0] e [0,2].
Os pontos médios são
x1 = -2 + tfrac12cdot2 = -1, x2 = 0 + tfrac12cdot2 = 1
Calculamos
f(-1) = 4 - (-1)^2 = 3, f(1) = 4 - 1^2 = 3,
logo a soma das áreas é
A2 = l(f(-1)+f(1)r),De<a x = (3+3)cdot2 = 12

Passo 4

Caso n=4:
De<a x = 2 - (-2)4 = 1
Os quatro subintervalos são [-2,-1], [-1,0], [0,1], [1,2].
Os pontos médios são
x1 = -2 + tfrac12cdot1 = -1,5, x2 = -1 + tfrac12cdot1 = -0,5,
x3 = 0 + tfrac12cdot1 = 0,5, x4 = 1 + tfrac12cdot1 = 1,5
Calculamos
f(-1,5) = 4 - (1,5)^2 = 1,75, f(-0,5) = 4 - (0,5)^2 = 3,75,
f(0,5) = 3,75, f(1,5) = 1,75
Somando as áreas:
A4 = l(1,75 + 3,75 + 3,75 + 1,75r)cdot1 = 11

Resposta

Usando a regra do ponto médio, a estimativa da área sob f(x)=4-x^2 em [-2,2] é
para n=2: A2 = 12,
para n=4: A4 = 11.

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