Considere a função
. Sabendo que
. Determine, o domínio de
e as assíntotas horizontais e verticais,caso existam; b) Os pontos críticos de
, caso existam; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de
; d) Os extremos relativos de
; e) os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo e côncavo para cima; f) Os pontos de inflexão do gráfico de
. g) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado trata da análise completa da função
usando derivadas para encontrar domínio, assíntotas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos precisar de limites, estudo do sinal de
e
e cálculo de valores de
.
Passo 2
Domínio de
: o denominador
nunca se anula (
para todo
), logo
Assíntotas verticais: não existem porque não há zeros do denominador.
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal:
logo há a assíntota horizontal
.
Passo 3
Pontos críticos: resolvemos
quando
, isto é,
. O denominador nunca zera, então o único ponto crítico é
. O valor de
ali é
Passo 4
Monotonia: o sinal de
é o sinal de
.
Para temos
(decrescente) e para
temos
(crescente).
Logo é decrescente em
e crescente em
.
Para
Logo
Passo 5
Extremo relativo: em
a função passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em
Passo 6
Concavidade:
O sinal de
vem de
. Resolver
dá
.
- Para
, e , logo : concavidade para cima. - Para
, e : concavidade para baixo.
Passo 7
Pontos de inflexão ocorrem onde
muda de sinal, i.e.\ em
. O valor de
nesses pontos é
Logo os pontos de inflexão são
Passo 8
Esboço do gráfico:
– Função par ( ).
– Assíntota horizontal ao fundo.
– Decrecente até , mínimo em
, depois crescente.
– Concava para baixo em e
.
– Concava para cima em .
– Inflection em .
– Função par (
– Assíntota horizontal
– Decrecente até
– Concava para baixo em
– Concava para cima em
– Inflection em
Resposta
a) ; não há assíntotas verticais; assíntota horizontal
.
b) Ponto crítico em .
c) decrescente em
e crescente em
.
d) Mínimo relativo em .
e) Concavidade para cima em ; para baixo em
.
f) Pontos de inflexão em .
g) Gráfico simétrico par, com mínimo em , inflexões em
e assíntota horizontal
.
b) Ponto crítico em
c)
d) Mínimo relativo em
e) Concavidade para cima em
f) Pontos de inflexão em
g) Gráfico simétrico par, com mínimo em