Considere a função f(x)=x^2x^2+7. Sabendo que f^prime(x)=14 x(x^2+7)^2, f^prime prime(x)=-14(3 x^2-7)(x^2+7)^3. Determine, o domínio de f e as assíntotas horizontais e verticais,caso existam; b) Os pontos críticos de f, caso existam; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f; d) Os extremos relativos de f; e) os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo e côncavo para cima; f) Os pontos de inflexão do gráfico de f. g) Faça um esboço do gráfico de f

Passo 1

O enunciado trata da análise completa da função
f(x)=x^2x^2+7,
usando derivadas para encontrar domínio, assíntotas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos precisar de limites, estudo do sinal de f' e f'' e cálculo de valores de f.

Passo 2

Domínio de : o denominador nunca se anula ( para todo ), logo
Assíntotas verticais: não existem porque não há zeros do denominador.
Assíntota horizontal:
logo há a assíntota horizontal .

Passo 3

Pontos críticos: resolvemos
f'(x)=14x(x^2+7)^2=0
quando 14x=0, isto é, x=0. O denominador nunca zera, então o único ponto crítico é x=0. O valor de f ali é
f(0)=0

Passo 4

Monotonia: o sinal de f'(x)=14x(x^2+7)^2 é o sinal de x.
Para x<0 temos f'(x)<0 (decrescente) e para x>0 temos f'(x)>0 (crescente).
Logo f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).

Passo 5

Extremo relativo: em x=0 a função passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em
l(0,0r)

Passo 6

Concavidade:
f''(x)=-14,3x^2-7(x^2+7)^3
O sinal de f'' vem de -,(3x^2-7). Resolver 3x^2-7=0 x=pmraiztfrac73.
  • Para lvert xrvert<raiztfrac73, 3x^2-7<0 e -,(3x^2-7)>0, logo f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Para lvert xrvert>raiztfrac73, 3x^2-7>0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.

Passo 7

Pontos de inflexão ocorrem onde f'' muda de sinal, i.e.\ em x=pmraiztfrac73. O valor de f nesses pontos é
fl(pmraiztfrac73r) =tfrac73tfrac73+7 =tfrac73tfrac283 =14
Logo os pontos de inflexão são
l(-raiztfrac73,tfrac14r) e l(raiztfrac73,tfrac14r)

Passo 8

Esboço do gráfico:
– Função par ( f(-x)=f(x)).
– Assíntota horizontal y=1 ao fundo.
– Decrecente até x=0, mínimo em (0,0), depois crescente.
– Concava para baixo em (-infty,-raiztfrac73) e (raiztfrac73,infty).
– Concava para cima em l(-raiztfrac73,raiztfrac73r).
– Inflection em l(pmraiztfrac73,tfrac14r).

Resposta

a) ; não há assíntotas verticais; assíntota horizontal .
b) Ponto crítico em .
c) decrescente em e crescente em .
d) Mínimo relativo em .
e) Concavidade para cima em ; para baixo em .
f) Pontos de inflexão em .
g) Gráfico simétrico par, com mínimo em , inflexões em e assíntota horizontal .

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