Demonstrar que o produto de duas fraçôes irredutíveis também é irredutível, desde que o numerador de cada uma delas seja relativamente primo com o denominador da outra.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas frações irredutíveis ab e cd tais que gcd(a,d)=1 e gcd(c,b)=1, o produto
abcdotcd ;=;acbd
também é irredutível.
Precisaremos usar a definição de fração irredutível ( gcd(num,den)=1) e o fato de que, se um número primo p divide um produto, então ele divide um dos fatores.

Passo 2

Como ab e cd são irredutíveis, temos
gcd(a,b)=1 e gcd(c,d)=1
Pela hipótese extra, também valem
gcd(a,d)=1 e gcd(c,b)=1
Queremos mostrar que gcd(ac,bd)=1.

Passo 3

Seja p um número primo que divide gcd(ac,bd). Então
pmid ac e pmid bd
Pelo lema de Euclides, de pmid ac segue que pmid a ou pmid c, e de pmid bd segue que pmid b ou pmid d.
Isso gera quatro casos possíveis para p:
  1. pmid a e pmid b: mas então gcd(a,b)>= p>1, contradizendo gcd(a,b)=1.
  2. pmid a e pmid d: então gcd(a,d)>= p>1, contradizendo gcd(a,d)=1.
  3. pmid c e pmid b: então gcd(c,b)>= p>1, contradizendo gcd(c,b)=1.
  4. pmid c e pmid d: então gcd(c,d)>= p>1, contradizendo gcd(c,d)=1.
Em todos os casos há contradição, logo não existe primo p>1 que divida simultaneamente ac e bd. Portanto gcd(ac,bd)=1.

Resposta

A fração acbd é irredutível, pois gcd(ac,bd)=1.

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