Demonstrar que o produto de duas fraçôes irredutíveis também é irredutível, desde que o numerador de cada uma delas seja relativamente primo com o denominador da outra.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas frações irredutíveis
e
tais que
e
, o produto
também é irredutível.
Precisaremos usar a definição de fração irredutível ( ) e o fato de que, se um número primo
divide um produto, então ele divide um dos fatores.
Precisaremos usar a definição de fração irredutível (
Passo 2
Como
e
são irredutíveis, temos
Pela hipótese extra, também valem
Queremos mostrar que
.
Passo 3
Seja
um número primo que divide
. Então
Pelo lema de Euclides, de
segue que
ou
, e de
segue que
ou
.
Isso gera quatro casos possíveis para :
Isso gera quatro casos possíveis para
-
e : mas então , contradizendo . -
e : então , contradizendo . -
e : então , contradizendo . -
e : então , contradizendo .
Em todos os casos há contradição, logo não existe primo
que divida simultaneamente
e
. Portanto
.
Resposta
A fração
é irredutível, pois
.