Provar que o quociente de duas frações irredutiveis também é irredutivel, sempre que os dois numeradores, bem como os dois denominadores, forem relativamente primos.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas frações irreduzíveis
e
, isto é,
e
,
e além disso e
.
Queremos mostrar que o quociente
e além disso
Queremos mostrar que o quociente
também é irreduzível.
Passo 2
Escrevendo o quociente de frações como produto, temos
Passo 3
Para mostrar que
é irreduzível, basta provar que
Suponha, por contradição, que exista um primo
dividindo
e também dividindo
.
Então implica
ou
, e
implica
ou
.
Então
-
Se
, então de ou teríamos: -
é impossível porque . -
é impossível porque .
Logo não pode ocorrer.
-
-
Se
, então de ou teríamos: -
é impossível porque . -
é impossível porque .
Logo não pode ocorrer.
-
Como em ambos os casos chegamos a contradição, não existe primo
dividindo simultaneamente
e
. Portanto
Resposta
A fração
é irreduzível.