Provar que o quociente de duas frações irredutiveis também é irredutivel, sempre que os dois numeradores, bem como os dois denominadores, forem relativamente primos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas frações irreduzíveis tfracab e tfraccd, isto é,
gcd(a,b)=1 e gcd(c,d)=1,
e além disso gcd(a,c)=1 e gcd(b,d)=1.
Queremos mostrar que o quociente
,tfracab,,tfraccd,
também é irreduzível.

Passo 2

Escrevendo o quociente de frações como produto, temos
,tfracab,,tfraccd, =abcdotdc =a,db,c,

Passo 3

Para mostrar que tfraca,d,b,c, é irreduzível, basta provar que
gcd(a,d,;b,c)=1
Suponha, por contradição, que exista um primo p dividindo a,d e também dividindo b,c.
Então pmid a,d implica pmid a ou pmid d, e pmid b,c implica pmid b ou pmid c.
  • Se pmid a, então de pmid b ou pmid c teríamos:
    • pmid b é impossível porque gcd(a,b)=1.
    • pmid c é impossível porque gcd(a,c)=1.
      Logo não pode ocorrer pmid a.
  • Se pmid d, então de pmid b ou pmid c teríamos:
    • pmid b é impossível porque gcd(b,d)=1.
    • pmid c é impossível porque gcd(c,d)=1.
      Logo não pode ocorrer pmid d.
Como em ambos os casos chegamos a contradição, não existe primo p>1 dividindo simultaneamente a,d e b,c. Portanto
gcd(a,d,;b,c)=1

Resposta

A fração a,db,c é irreduzível.

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