Considere a função a seguir:
f(x)=cos raizx
Escreva uma série de potências para a função a todas as ordens em torno de x0=0;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de
f(x)=cosraizx
em torno de x0=0. Vamos usar o método de composição de séries: primeiro escrevemos a série de Taylor de cos t em torno de t=0 e depois fazemos t=raizx.

Passo 2

A série de Taylor de cos t em torno de t=0 é bem conhecida:
cos t = sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,t^2n

Passo 3

Agora fazemos a substituição t=raizx. Isto dá
cosraizx =sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,l(raizxr)^2n

Passo 4

Como l(raizxr)^2n=x^n, obtemos diretamente
cosraizx =sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,x^n
Essa é a série de potências de f(x) em torno de x=0. A série converge para todo x>=0.

Resposta

boxedcosraizx=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^n

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