Determine, se existir, os valores de a, b in R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.
f(x)=ccx^2-3 x+2a(x^2-1) & se x<1 sen(x^2-1)x-1 & se x>1 b & se x=1

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x)= x^2-3x+2a,(x^2-1),&x<1,[1em] sin(x^2-1)x-1,&x>1,[0.5em] b,&x=1
Queremos f contínua em R. Como as partes para x<1 e x>1 são contínuas em seus domínios (exceto em x=1), basta verificar continuidade em x=1, ou seja, que
limxto1^-f(x) =limxto1^+f(x) =f(1)=b
]

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda. Para x<1 escrevemos
x^2-3x+2=(x-1)(x-2), x^2-1=(x-1)(x+1),
logo para xneq1
x^2-3x+2a,(x^2-1) =(x-1)(x-2)a,(x-1)(x+1) =x-2a,(x+1)
Assim
limxto1^-x^2-3x+2a(x^2-1) =1-2a(1+1) =-12a

Passo 3

Cálculo do limite pela direita. Para x>1 note que x^2-1=(x-1)(x+1), então
sin(x^2-1)x-1 =sinl((x-1)(x+1)r)(x-1)(x+1),(x+1)
Como sin u/uto1 quando uto0 e aqui u=(x-1)(x+1)to0, temos
limxto1^+sin(x^2-1)x-1 =1cdot(1+1) =2

Passo 4

Para continuidade em x=1 é necessário
limxto1^-f(x) =limxto1^+f(x) =b,
ou seja
-12a=2 e b=2
Da primeira igualdade segue a=-tfrac14.

Resposta

a=-tfrac14, b=2.

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