Considere a função do segundo grau f(x)=-x^{2}+3 x-2.
a) Encontre os zeros da função f;
b) Determine os conjuntos onde f é positiva e negativa;
c) Qual é o vértice da parábola que é o gráfico de f;
d) Determine o conjunto imagem da função f;
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Resumindo: temos uma função quadrática
f(x) = -x^{2} + 3x - 2
que é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo (abre para baixo). Vamos
  1. achar as raízes resolvendo f(x)=0,
  2. usar essas raízes para determinar onde f é positiva ou negativa,
  3. calcular o vértice pela fórmula de x_v=-\frac{b}{2a},
  4. obter a imagem sabendo que, por abrir para baixo, o valor máximo é a ordenada do vértice,
  5. esboçar o gráfico marcando raízes e vértice.

Passo 2

Para encontrar os zeros resolvemos
-x^{2}+3x-2 = 0.
O discriminante é
\Delta = 3^{2} - 4\cdot(-1)\cdot(-2) = 9 - 8 = 1.
Pelas raízes da equação do 2º grau,
x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2\cdot(-1)} = \frac{-3 \pm 1}{-2},
resultando em
x_{1} = \frac{-3+1}{-2} = 1, \quad x_{2} = \frac{-3-1}{-2} = 2.

Passo 3

Como o coeficiente de x^{2} é a=-1<0, a parábola abre para baixo. Logo
  • f(x)>0 entre as raízes, ou seja, para x\in(1,2).
  • f(x)<0 fora desse intervalo, ou seja, para x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty).

Passo 4

O vértice tem abscissa
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2\cdot(-1)} = \frac{3}{2}.
A ordenada é
f\bigl(\tfrac32\bigr) = -\bigl(\tfrac32\bigr)^{2} + 3\cdot\tfrac32 - 2 = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{2} - 2 = \tfrac{1}{4}.
Portanto o vértice é \bigl(\tfrac32,\tfrac14\bigr).

Passo 5

Como a parábola abre para baixo, o valor máximo de f é \tfrac14 e não há limite inferior. Assim o conjunto imagem é
(-\infty,\tfrac14].

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • Marque os pontos (1,0) e (2,0) como raízes.
  • Marque o vértice em \bigl(\tfrac32,\tfrac14\bigr).
  • Desenhe uma parábola simétrica em torno da reta x=\tfrac32, abrindo para baixo, passando pelos pontos marcados.

Resposta

(a) Os zeros são x=1 e x=2.
(b) f(x)>0 para x\in(1,2) e f(x)<0 para x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty).
(c) O vértice é \bigl(\tfrac32,\tfrac14\bigr).
(d) O conjunto imagem é (-\infty,\tfrac14].
(e) Gráfico: parábola voltada para baixo com raízes em (1,0), (2,0) e vértice em \bigl(\tfrac32,\tfrac14\bigr).

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