Considere a função do segundo grau
.
a) Encontre os zeros da função
;
b) Determine os conjuntos onde
é positiva e negativa;
c) Qual é o vértice da parábola que é o gráfico de
;
d) Determine o conjunto imagem da função
;
e) Esboce o gráfico de
.
a) Encontre os zeros da função
b) Determine os conjuntos onde
c) Qual é o vértice da parábola que é o gráfico de
d) Determine o conjunto imagem da função
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
Resumindo: temos uma função quadrática
que é uma parábola com coeficiente de
negativo (abre para baixo). Vamos
- achar as raízes resolvendo
, - usar essas raízes para determinar onde
é positiva ou negativa, - calcular o vértice pela fórmula de
, - obter a imagem sabendo que, por abrir para baixo, o valor máximo é a ordenada do vértice,
- esboçar o gráfico marcando raízes e vértice.
Passo 2
Para encontrar os zeros resolvemos
O discriminante é
Pelas raízes da equação do 2º grau,
resultando em
Passo 3
Como o coeficiente de
é
, a parábola abre para baixo. Logo
-
entre as raízes, ou seja, para . -
fora desse intervalo, ou seja, para .
Passo 4
O vértice tem abscissa
A ordenada é
Portanto o vértice é
.
Passo 5
Como a parábola abre para baixo, o valor máximo de
é
e não há limite inferior. Assim o conjunto imagem é
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
- Marque os pontos
e como raízes. - Marque o vértice em
. - Desenhe uma parábola simétrica em torno da reta
, abrindo para baixo, passando pelos pontos marcados.
Resposta
(a) Os zeros são
e
.
(b) para
e
para
.
(c) O vértice é .
(d) O conjunto imagem é .
(e) Gráfico: parábola voltada para baixo com raízes em ,
e vértice em
.
(b)
(c) O vértice é
(d) O conjunto imagem é
(e) Gráfico: parábola voltada para baixo com raízes em