Determine e esboce graficamente o domínio da função f(x)=\sqrt{(2-x)(x-1)}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto de todos os x reais em que a função
f(x)=\sqrt{(2-x)(x-1)}
está bem definida. O conteúdo aqui é domínio de função com raiz quadrada: precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Exigimos
(2-x)(x-1)\ge0.
Esse é um produto de dois fatores que deve ser não negativo. Vamos achar as raízes e analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 3

As raízes vêm de
2 - x = 0\quad\Rightarrow\quad x=2,
x - 1 = 0\quad\Rightarrow\quad x=1.
Para um produto ser \ge0, ou ambos os fatores são \ge0 ou ambos são \le0.
  1. Se 2-x\ge0 e x-1\ge0, então x\le2 e x\ge1, isto é
1\le x\le2.
  1. Se 2-x\le0 e x-1\le0, então x\ge2 e x\le1, o que não ocorre para nenhum x.
    Logo, a única solução é
1\le x\le2.

Passo 4

Para esboçar o domínio, desenhamos o eixo x e destacamos o segmento fechado de 1 a 2:
— um ponto fechado em x=1,
— um ponto fechado em x=2,
— e a linha ligando esses dois pontos.

Resposta

O domínio de f é [1,2].

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