Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y)=e^{\frac{y}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y) = e^{\frac{y}{x}}.
O conteúdo principal aqui é diferenciar uma exponencial composta, então vamos usar a regra da cadeia e a fórmula
\frac{d}{du}e^{u} = e^{u}.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, notamos que a função é da forma f = e^{u(x,y)} com
u(x,y) = \frac{y}{x}.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{u(x,y)} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Agora,
u(x,y) = y \, x^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = y \cdot (-1)\,x^{-2} = -\frac{y}{x^{2}}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr) = -\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, usamos de novo f = e^{u(x,y)} com o mesmo u. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{u(x,y)} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Como
u(x,y) = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x},
ficamos com
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.

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