Determine o ponto de equilíbrio e o número correspondente de unidades ofertadas e demandadas, se a função de oferta para um bem for S(p)=p^{2}+3 p-70, e a função de demanda for D(p)=410-p, onde p representa o preço em reais do bem.
Bons estudos!

Passo 1

O enunciado nos dá a função de oferta
S(p) = p^{2} + 3p - 70
e a função de demanda
D(p) = 410 - p
O objetivo é encontrar o ponto de equilíbrio, ou seja, o preço p tal que a quantidade ofertada seja igual à quantidade demandada.

Passo 2

Para achar o preço de equilíbrio, igualamos oferta e demanda:
S(p) = D(p)
Logo,
p^{2} + 3p - 70 = 410 - p
e trazemos tudo para um lado:
p^{2} + 3p - 70 - 410 + p = 0
p^{2} + 4p - 480 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
p^{2} + 4p - 480 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro, calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4\cdot1\cdot(-480) = 16 + 1920 = 1936

Passo 4

As raízes são
p = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-4 \pm 44}{2}
Isso dá
p_{1} = \frac{-4 + 44}{2} = 20 \quad\text{e}\quad p_{2} = \frac{-4 - 44}{2} = -24.
Como preço não pode ser negativo, descartamos p_{2} e ficamos com
p^{*} = 20.

Passo 5

Para encontrar a quantidade de equilíbrio, substituímos p^{*}=20 em qualquer das funções. Em S(p):
S(20) = 20^{2} + 3\cdot20 - 70 = 400 + 60 - 70 = 390.
Em D(p):
D(20) = 410 - 20 = 390,
o que confirma que a oferta e a demanda coincidem em 390 unidades.

Resposta

O ponto de equilíbrio ocorre para p = 20 reais, com quantidade ofertada e demandada igual a 390 unidades.

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