Determine os vetores velocidade, aceleração e o módulo desses vetores no instante dado:
Passo 1
O enunciado pede para achar os vetores velocidade e aceleração de uma partícula cuja posição é dada por
, bem como os módulos desses vetores no instante
. O conteúdo envolve derivadas de funções vetoriais de tempo.
Passo 2
Derivamos
para obter o vetor velocidade
. Usando
e
, temos:
[\n\vec v(t)=e^t,\vec i-2e^{-2t},\vec j\n]
[\n\vec v(t)=e^t,\vec i-2e^{-2t},\vec j\n]
Passo 3
Derivamos
para obter o vetor aceleração
. Aplicando as mesmas regras:
[\n\vec a(t)=e^t,\vec i+4e^{-2t},\vec j\n]
[\n\vec a(t)=e^t,\vec i+4e^{-2t},\vec j\n]
Passo 4
Avaliamos
em
. Como
e
, obtemos:
[\n\vec v(\ln2)=2,\vec i-\tfrac12,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec v(\ln2)|=\sqrt{22+\bigl(-\tfrac12\bigr)2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\n]
[\n\vec v(\ln2)=2,\vec i-\tfrac12,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec v(\ln2)|=\sqrt{22+\bigl(-\tfrac12\bigr)2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\n]
Passo 5
Avaliamos
em
. Usando os mesmos valores de exponenciais:
[\n\vec a(\ln2)=2,\vec i+1,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec a(\ln2)|=\sqrt{22+12}=\sqrt5\n]
[\n\vec a(\ln2)=2,\vec i+1,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec a(\ln2)|=\sqrt{22+12}=\sqrt5\n]