Determine os vetores velocidade, aceleração e o módulo desses vetores no instante dado:
r(t)=e^t i+e^-2 t j ; t=ln (2)

Passo 1

O enunciado pede para achar os vetores velocidade e aceleração de uma partícula cuja posição é dada por vec r(t)=e^t,vec i+e^-2t,vec j, bem como os módulos desses vetores no instante t=ln2. O conteúdo envolve derivadas de funções vetoriais de tempo.

Passo 2

Derivamos vec r(t) para obter o vetor velocidade vec v(t)=dfracdvec rdt. Usando tfracddte^t=e^t e tfracddte^-2t=-2e^-2t, temos:
[\n\vec v(t)=e^t,\vec i-2e^{-2t},\vec j\n]

Passo 3

Derivamos vec v(t) para obter o vetor aceleração vec a(t)=dfracdvec vdt. Aplicando as mesmas regras:
[\n\vec a(t)=e^t,\vec i+4e^{-2t},\vec j\n]

Passo 4

Avaliamos vec v(t) em t=ln2. Como e^ln2=2 e e^-2ln2=2^-2=tfrac14, obtemos:
[\n\vec v(\ln2)=2,\vec i-\tfrac12,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec v(\ln2)|=\sqrt{22+\bigl(-\tfrac12\bigr)2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\n]

Passo 5

Avaliamos vec a(t) em t=ln2. Usando os mesmos valores de exponenciais:
[\n\vec a(\ln2)=2,\vec i+1,\vec j\n]
O módulo é
[\n|\vec a(\ln2)|=\sqrt{22+12}=\sqrt5\n]

Resposta

vec v(ln2)=2,vec i-tfrac12,vec j,|vec v(ln2)|=tfracraiz172;
vec a(ln2)=2,vec i+1,vec j,|vec a(ln2)|=raiz5.

Exercícios relacionados