Dadas as funçc̃es vetoriais vecf(t)=t i+t^2 j+5 k e g(t)=t^3 i+j e a função escalar h(t)=t^2-1, determine:
[h(t) f(t)] cdot g(t)

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
vec f(t)=t,vec i + t^2,vec j + 5,vec k
vec g(t)=t^3,vec i + 1,vec j + 0,vec k
e a função escalar h(t)=t^2-1.
O que se pede é o produto escalar de h(t),vec f(t) com vec g(t).
O conteúdo usado aqui é:
– multiplicação escalar de uma função vetorial, obtendo-se h(t),vec f(t);
– definição de produto escalar em R^3, isto é, para vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3) vale
vec ucdot vec v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 2

Multiplicamos cada componente de vec f(t) pela escalar h(t)=t^2-1, obtendo
h(t),vec f(t) =(t^2-1)l(t,;t^2,;5r) =l(t^3 - t,;t^4 - t^2,;5t^2 - 5r)

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar entre l(t^3 - t,;t^4 - t^2,;5t^2 - 5r) e l(t^3,,1,,0r):
[h(t),vec f(t)]cdot vec g(t) =(t^3 - t),t^3 + (t^4 - t^2),1 + (5t^2 - 5),0

Passo 4

Desenvolvendo e simplificando:
(t^3 - t),t^3 = t^6 - t^4, (t^4 - t^2),1 = t^4 - t^2,
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[h(t),vec f(t)]cdot vec g(t) = (t^6 - t^4) + (t^4 - t^2) = t^6 - t^2

Resposta

[h(t),vec f(t)]cdot vec g(t)=t^6 - t^2

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