Considere a função definida no intervalo .
Encontre o menor número para o qual ao interpolar a por um polinômio , em pontos igualmente espaçados do intervalo, se obtenha um erro menor do que ; (Obs.: considere e );
Passo 1
Beleza, a questão é a seguinte: queremos aproximar a função
no intervalo por um polinômio de grau em nós igualmente espaçados (com e ). O objetivo é achar o menor tal que o erro máximo
fique abaixo de .
Conteúdo que vamos usar:
Fórmula do resto de Lagrange na interpolação polinomial.
Estimativa da derivada de ordem de .
Estimativa do fator no intervalo.
Passo 2
A fórmula do resto de Lagrange diz que, para cada Rn(x)=f(x)-pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,l(x-x1r)l(x-x2r)cdotsl(x-xn+1r) , existe entre e tal que
Aqui , e são os nós igualmente espaçados.
Passo 3
Vamos estimar M=maxtin[0,pi/4]|f^(n+1)(t)|<=1 .
Como , suas derivadas se repetem entre e : todas elas têm módulo no máximo 1.
Logo
Passo 4
Agora precisamos de uma estimativa simples para l|,(x-x1)cdots(x-xn+1)r| ;<=;l(pi4r)^,n+1 .
Como todos os nós e o ponto estão em , cada fator é no máximo .
Então