Considere a função f(x)=sen x definida no intervalo [0, pi4].
Encontre o menor número n para o qual ao interpolar a f por um polinômio pn(x), em pontos igualmente espaçados do intervalo, se obtenha um erro menor do que 10^-4; (Obs.: considere x1=0 e xn+1=pi4 );

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: queremos aproximar a função
no intervalo f(x)=sen x por um polinômio maxxin[0,pi/4] l|f(x)-pn(x)r| de grau em nós igualmente espaçados (com e ). O objetivo é achar o menor tal que o erro máximo
fique abaixo de .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Fórmula do resto de Lagrange na interpolação polinomial.
  2. Estimativa da derivada de ordem de .
  3. Estimativa do fator no intervalo.

Passo 2

A fórmula do resto de Lagrange diz que, para cada Rn(x)=f(x)-pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,l(x-x1r)l(x-x2r)cdotsl(x-xn+1r) , existe entre e tal que
Aqui , e são os nós igualmente espaçados.

Passo 3

Vamos estimar M=maxtin[0,pi/4]|f^(n+1)(t)|<=1 .
Como , suas derivadas se repetem entre e : todas elas têm módulo no máximo 1.
Logo

Passo 4

Agora precisamos de uma estimativa simples para
l|,(x-x1)cdots(x-xn+1)r| ;<=;l(pi4r)^,n+1 .
Como todos os nós e o ponto estão em , cada fator
é no máximo .
Então

Passo 5

Juntando tudo, temos o erro máximo satisfeito por
maxxin[0,pi/4]|Rn(x)| ;<=; M(n+1)!,l(pi4r)^n+1 ;<=; 1(n+1)!,l(pi4r)^n+1
Queremos essa quantidade menor que 1(n+1)!,l(pi4r)^n+1 <10^-4 , ou seja
Basta testar crescentes até achar o menor que satisfaça isso.

Passo 6

Vamos calcular rapidamente (usando aproximações numéricas de ):
  • Para :
    (ainda grande).
  • Para :
    (ainda acima de ).
  • Para :
Logo o menor que faz o termo ficar abaixo de é .

Resposta

O menor grau necessário é 6.

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