Considere a função f(x)=sen x definida no intervalo [0, pi4].
Encontre o menor número n de subintervalos para o qual ao integrar a f, em [0, pi4], por meio da regra de Simpson repetida, se obtenha um erro menor do que 10^-4.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos a função
no intervalo f(x) = sen x e queremos usar a regra de Simpson composta para aproximar

com erro menor que .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Fórmula do erro da regra de Simpson composta.
  2. Cálculo da quarta derivada de .
  3. Escolher (número de subintervalos) para que o erro fique abaixo de .

Passo 2

Erro da regra de Simpson composta:
l|ESr|;<=;b-a180;h^4;maxxin[a,b]l|f^(4)(x)r|,
onde l|ESr|<=pi/4180,l(tfracpi/4nr)^4;K, . Aqui , . Então
com .

Passo 3

Vamos achar K=max[0,pi/4]|sen x|=senl(tfracpi4r)=tfracraiz22 .
  • .
    No intervalo , o seno cresce até , então

Passo 4

Substituindo l|ESr|<=pi/4180;l(pi/4nr)^4;raiz22 =tfracraiz22,(pi/4)^5180;1n^4 e tfracraiz22,(pi/4)^5180,n^4<10^-4 na fórmula do erro, temos
n^4>tfracraiz22,(pi/4)^5180cdot10^-4, n>(tfracraiz22,(pi/4)^5180cdot10^-4)^1/4
Queremos
Isolando :

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
(pi/4)^5approx0,2983, tfracraiz22approx0,7071, 180cdot10^-4=0,018
Então o quociente dá aproximadamente
0,7071times0,29830,018approx11,72
e
n>raiz[4]11,72approx1,85
Como n=2 tem que ser inteiro e a regra de Simpson pede par, o menor inteiro e par é

Resposta

O menor número de subintervalos boxed2 para garantir erro abaixo de é

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