Mostre que fórmula de Lagrange pode ser escrita na forma
Pn(x)=sumi=0^n f(xi) w(x)(x-xi) w^prime(xi)
sendo,
w(x)=prodj=0^n(x-xj)

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente mostre que a forma “clássica” do polinômio de Lagrange
Pn(x)=sumi=0^n f(xi),elli(x)
pode ser reescrita como
Pn(x)=sumi=0^n f(xi),w(x)(x-xi),w'(xi),
onde
w(x)=prodj=0^n(x-xj)
Então, o conteúdo aqui é Interpolação Polinomial de Lagrange e cálculo de derivada de produto. Vamos usar a definição das bases de Lagrange, entender o polinômio e mostrar que a derivada vira justamente o denominador que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, lembra da base de Lagrange clássica:
elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj
E o polinômio interpolador é
Pn(x)=sumi=0^n f(xi),elli(x)

Passo 3

Agora definimos
w(x)=prodj=0^n(x-xj)
Repara que, se a gente escrever w(x)=(x-xi),prodsubstackj=0jneq i^n(x-xj) “tirando” o fator , dá

Passo 4

Precisamos de w'(xi)=prodsubstackj=0jneq i^n(xi-xj) . Como é um produto de fatores lineares, a derivada em é
Isto vem porque, ao derivar, só o termo em que você deriva e avalia em sobrevive — os outros viram zero no ponto .

Passo 5

Comparando elli(x) =prodjneq ix-xjxi-xj =prodjneq i(x-xj)prodjneq i(xi-xj) =;w(x),/,(,x-xi,);w'(xi) com esses produtos:
elli(x)=w(x)(x-xi),w'(xi)
Ou seja,

Passo 6

Basta então colocar isso dentro da soma do interpolador:
Pn(x) =sumi=0^n f(xi),elli(x) =sumi=0^n f(xi),w(x)(x-xi),w'(xi),
que é exatamente a forma pedida.

Resposta

boxedPn(x)=sumi=0^nf(xi),w(x)(x-xi),w'(xi), w(x)=prodj=0^n(x-xj)

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