Mostre que fórmula de Lagrange pode ser escrita na forma
sendo,
Passo 1
Beleza, a questão quer que a gente mostre que a forma “clássica” do polinômio de Lagrange
pode ser reescrita como
onde
Então, o conteúdo aqui é Interpolação Polinomial de Lagrange e cálculo de derivada de produto. Vamos usar a definição das bases de Lagrange, entender o polinômio
e mostrar que a derivada
vira justamente o denominador que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, lembra da base de Lagrange clássica:
E o polinômio interpolador é
Passo 3
Agora definimos
Repara que, se a gente escrever
“tirando” o fator
, dá
Passo 4
Precisamos de
. Como
é um produto de fatores lineares, a derivada em
é
Isto vem porque, ao derivar, só o termo em que você deriva
e avalia em
sobrevive — os outros viram zero no ponto
.
Passo 5
Comparando
com esses produtos:
Ou seja,
Passo 6
Basta então colocar isso dentro da soma do interpolador:
que é exatamente a forma pedida.