Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
Sendo gamma(t)=(cos i, sen i), determine (f circ gamma)(t).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2-2xy+2y^2
e a curva parametrizada
gamma(t)=(cos t,sin t).
Queremos o composto (fcircgamma)(t)=fl(cos t,sin tr). Para isso, basta substituir x=cos t e y=sin t em f e depois usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Substituindo x=cos t e y=sin t em f(x,y) obtemos
(fcircgamma)(t) = (cos t)^2-2(cos t)(sin t)+2(sin t)^2 =cos^2t-2cos t,sin t+2sin^2t

Passo 3

Reagrupando os termos cos^2t e 2sin^2t:
cos^2t+2sin^2t =(cos^2t+sin^2t)+sin^2t =1+sin^2t
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(fcircgamma)(t) =1+sin^2t-2sin t,cos t

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica
sin2t=2sin t,cos t,
chegamos a
(fcircgamma)(t) =1+sin^2t-sin2t

Resposta

(fcircgamma)(t)=1+sin^2t-sin2t

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