Verifique se a equação dada representa uma circunferência:
4 x^2+4 y^2+x-6 y+5=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^2+4y^2+x-6y+5=0
e pede para verificar se ela representa uma circunferência. O conteúdo envolve classificação de cônicas e técnica de completar quadrados.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 4 para ter coeficientes iguais em x^2 e em y^2:
x^2 + y^2 + 14x - 32y + 54 = 0

Passo 3

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
para x^2+tfrac14x adicionamos e subtraímos l(tfrac18r)^2=tfrac164,
para y^2-tfrac32y adicionamos e subtraímos l(tfrac34r)^2=tfrac916.
Assim obtemos
x^2+14x+164 = l(x+18r)^2, y^2-32y+916 = l(y-34r)^2

Passo 4

Substituindo e ajustando os termos constantes na equação normalizada:
l(x+tfrac18r)^2 - tfrac164 + l(y-tfrac34r)^2 - tfrac916 + tfrac54 =0
Somando os constantes dá
-tfrac164-tfrac916+tfrac54 = -tfrac164-tfrac3664+tfrac8064 = tfrac4364,
logo a forma completa é
l(x+tfrac18r)^2 + l(y-tfrac34r)^2 = -tfrac4364
Isso corresponderia a uma circunferência de centro
Cl(-tfrac18,,tfrac34r)
e raio ao quadrado
r^2 = -tfrac4364

Passo 5

Como r^2<0, não há raio real, ou seja, não existem pontos reais que satisfazem a equação. Portanto não se trata de uma circunferência no plano real.

Resposta

A equação não representa uma circunferência real, pois o valor de r^2 é negativo.

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