Considere a funcao
Sendo
determine
Sendo
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos a função
e uma nova variável
. Queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto (1, 2).
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia, que nos permite relacionar as derivadas em diferentes variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em termos de
. Mas para facilitar, vamos considerar que
ainda está em termos de
e
, e
também está relacionado a
e
. Nosso objetivo é encontrar
.
Vamos usar a regra da cadeia para múltiplas variáveis, que diz:
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
e
.
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
.
Sabemos que
.
Vamos resolver para
.
Assumindo que
e
estão relacionados de alguma forma a
, mas sem mais informações, vamos supor que
e
são funções de
.
No entanto, como temos uma única equação para duas variáveis, precisamos de mais informações ou assumir que estamos avaliando no ponto específico onde
e
.
Passo 5
Como estamos avaliando no ponto (1, 2), vamos considerar que
e
são constantes em relação a
nesse ponto. Portanto,
e
.
No entanto, isso não faz sentido porque
depende de
e
. Uma abordagem melhor é expressar
e
em termos de
e outra variável independente, mas sem essa informação, precisamos considerar outra estratégia.
Passo 6
Vamos reinterpretar o problema: queremos a derivada de
em relação a
na direção definida por
.
Podemos considerar que
é uma combinação linear de
e
. Para isso, calculamos
usando as derivadas parciais de
em relação a
e
, multiplicadas pelos coeficientes das derivadas de
e
em relação a
.
Sabemos que:
Então, de forma inversa:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Finalmente, substituímos
no ponto dado:
Resposta
A derivada parcial
é
.