Considere a funcao f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2
Sendo t=raiz22(x+y) determine partial fpartial t(1,2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos a função f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 e uma nova variável t = raiz22(x + y) . Queremos encontrar a derivada parcial de f em relação a t no ponto (1, 2).
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia, que nos permite relacionar as derivadas em diferentes variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar f em termos de t . Mas para facilitar, vamos considerar que f ainda está em termos de x e y , e t também está relacionado a x e y . Nosso objetivo é encontrar partial fpartial t .
Vamos usar a regra da cadeia para múltiplas variáveis, que diz:
partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t

Passo 3

Primeiro, vamos calcular partial fpartial x e partial fpartial y .
Para f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 :
partial fpartial x = 2x - 2y
partial fpartial y = -2x + 4y

Passo 4

Agora, precisamos encontrar partial xpartial t e partial ypartial t .
Sabemos que t = raiz22(x + y) .
Vamos resolver para x + y = 2raiz2 t = raiz2 t .
Assumindo que x e y estão relacionados de alguma forma a t , mas sem mais informações, vamos supor que x e y são funções de t .
No entanto, como temos uma única equação para duas variáveis, precisamos de mais informações ou assumir que estamos avaliando no ponto específico onde x = 1 e y = 2 .

Passo 5

Como estamos avaliando no ponto (1, 2), vamos considerar que x e y são constantes em relação a t nesse ponto. Portanto, partial xpartial t = 0 e partial ypartial t = 0 .
No entanto, isso não faz sentido porque t depende de x e y . Uma abordagem melhor é expressar x e y em termos de t e outra variável independente, mas sem essa informação, precisamos considerar outra estratégia.

Passo 6

Vamos reinterpretar o problema: queremos a derivada de f em relação a t na direção definida por t = raiz22(x + y) .
Podemos considerar que t é uma combinação linear de x e y . Para isso, calculamos partial fpartial t usando as derivadas parciais de f em relação a x e y , multiplicadas pelos coeficientes das derivadas de x e y em relação a t .
Sabemos que:
partial tpartial x = raiz22, partial tpartial y = raiz22
Então, de forma inversa:
partial xpartial t = raiz22, partial ypartial t = raiz22

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial fpartial t = (2x - 2y) cdot raiz22 + (-2x + 4y) cdot raiz22

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial fpartial t = raiz22(2x - 2y - 2x + 4y) = raiz22(2y)
partial fpartial t = raiz2 y

Passo 9

Finalmente, substituímos y = 2 no ponto dado:
partial fpartial t(1,2) = raiz2 times 2 = 2raiz2

Resposta

A derivada parcial partial fpartial t(1,2) é 2raiz2.

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