(2) (2,0 pontos) Considere a seguinte cquação diferencial
(c) Determine a única solução que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação diferencial e quer saber qual é a única solução que passa pelo ponto (0, 0). A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar as funções que acompanham
e os termos independentes:
Podemos reorganizar para ficar na forma padrão de uma equação diferencial exata:
onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, a função
completa é:
Para obter a solução geral, igualamos
a uma constante:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A única solução que passa pelo ponto
é: