(2) (2,0 pontos) Considere a seguinte cquação diferencial
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0
(c) Determine a única solução que passa pelo ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação diferencial e quer saber qual é a única solução que passa pelo ponto (0, 0). A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar as funções que acompanham dy/dx e os termos independentes:
2xy - sin x + (x^2 + e^y) dydx = 0
Podemos reorganizar para ficar na forma padrão de uma equação diferencial exata:
M(x, y) + N(x, y) dydx = 0
onde:
M(x, y) = 2xy - sin x e N(x, y) = x^2 + e^y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x :
partial Mpartial y = 2x e partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata. Isso significa que existe uma função Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N

Passo 4

Vamos encontrar Psi(x, y) integrando M em relação a x :
Psi(x, y) = integral M , dx = integral (2xy - sin x) , dx
Integrando termo a termo:
Psi(x, y) = x^2 y + cos x + h(y)
onde h(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Agora, diferenciamos Psi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Psipartial y = x^2 + h'(y) = N(x, y) = x^2 + e^y
Isso implica que:
h'(y) = e^y Rightarrow h(y) = e^y + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função Psi(x, y) completa é:
Psi(x, y) = x^2 y + cos x + e^y + C
Para obter a solução geral, igualamos Psi(x, y) a uma constante:
x^2 y + cos x + e^y = C

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial (0, 0) para encontrar o valor de C :
0^2 cdot 0 + cos 0 + e^0 = C Rightarrow 0 + 1 + 1 = C Rightarrow C = 2

Resposta

A única solução que passa pelo ponto (0,,0) é:
x^2 y + cos x + e^y = 2

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