(2) (2,0 pontos) Considere a seguinte cquação diferencial
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0
(a) Mostre que a equação é exata.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
2xy - sin x + l(x^2 + e^yr)dydx = 0
e pede para mostrar que ela é exata. Isso significa reescrevê-la na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar que
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Para identificar M e N, comparamos termo a termo:
M(x,y) = 2xy - sin x,
N(x,y) = x^2 + e^y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(2xy - sin xr) = 2x,
partial Npartial x = partialpartial xl(x^2 + e^yr) = 2x

Passo 4

Vimos que
partial Mpartial y = 2x
e
partial Npartial x = 2x,
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partial Mpartial y = partial Npartial x.
Portanto, a equação diferencial é exata.

Resposta

A equação diferencial é exata, pois satisfaz
partial Mpartial y = partial Npartial x = 2x.

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