(1) (2,0 pontos)
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial
l d yd x=2 x-13 y^2-3 y(1)=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial:
l dydx = 2x - 13y^2 - 3 y(1) = 0
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente resolução de problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis x e y . Isso significa que vamos rearranjar a equação para ter todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro.
Começamos com:
dydx = 2x - 13y^2 - 3
Podemos reescrever isso como:
(3y^2 - 3) , dy = (2x - 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é achar as antiderivadas.
Começamos com o lado esquerdo:
integral (3y^2 - 3) , dy
Integrando termo a termo:
integral 3y^2 , dy - integral 3 , dy = 3 cdot y^33 - 3y = y^3 - 3y

Passo 4

Agora, integramos o lado direito:
integral (2x - 1) , dx
Novamente, integrando termo a termo:
integral 2x , dx - integral 1 , dx = 2 cdot x^22 - x = x^2 - x

Passo 5

Juntando as integrações dos dois lados e adicionando a constante de integração C :
y^3 - 3y = x^2 - x + C

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C . Sabemos que:
y(1) = 0
Substituindo x = 1 e y = 0 na equação:
0^3 - 3(0) = 1^2 - 1 + C 0 = 1 - 1 + C 0 = 0 + C C = 0

Passo 7

Com o valor de C encontrado, a solução particular é:
y^3 - 3y = x^2 - x

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y^3 - 3y = x^2 - x

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