(1) (2,0 pontos)
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial:
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente resolução de problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos rearranjar a equação para ter todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro.
Começamos com:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é achar as antiderivadas.
Começamos com o lado esquerdo:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora, integramos o lado direito:
Novamente, integrando termo a termo:
Passo 5
Juntando as integrações dos dois lados e adicionando a constante de integração
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que:
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, a solução particular é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: