Uma função
é dita crescente se
para todo
tal que
. Analogamente,
é dita decrescente se
para todo
tal que
.
será chamada função monótona se for crescente o decrescente. Seja
e
uma função monótona e limitada. Mostre que existem os limites
.
Passo 1
O enunciado diz que
é monótona (ou crescente ou decrescente) e limitada. Queremos mostrar que o limite
existe (é finito). Para isso vamos usar as noções de supremo e ínfimo de conjuntos e o critério
–
de limite.
Passo 2
Como
é monótona há dois casos:
-
é crescente, isto é, para temos . -
é decrescente, isto é, para temos .
Passo 3
Caso
crescente.
Defina
Defina
Como
é limitada acima, esse supremo
é finito. Vamos mostrar que
Passo 4
Prova do limite para
crescente.
Seja . Como
é supremo, existe algum
tal que
Seja
Como
é crescente, para todo
vale
logo
Isto é
sempre que
. Basta então escolher
para garantir que, se
, então
e
. Assim
.
Passo 5
Caso
decrescente.
Defina
Defina
que existe e é finito pois
é limitada inferiormente. Um argumento análogo ao do caso crescente mostra que
Resposta
Se
é crescente, então
Se
é decrescente, então