Uma função f é dita crescente se f(x) \leq f(y) para todo x, y \in D(f) tal que x<y. Analogamente, f é dita decrescente se f(x) \geq f(y) para todo x, y \in D(f) tal que x<y. f será chamada função monótona se for crescente o decrescente. Seja a<b e f:] a, b[\rightarrow \mathbb{R} uma função monótona e limitada. Mostre que existem os limites
\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado diz que f:(a,b)\to\mathbb{R} é monótona (ou crescente ou decrescente) e limitada. Queremos mostrar que o limite
\lim_{x\to b^-}f(x)
existe (é finito). Para isso vamos usar as noções de supremo e ínfimo de conjuntos e o critério \varepsilon \delta de limite.

Passo 2

Como f é monótona há dois casos:
  1. f é crescente, isto é, para x<y temos f(x)\le f(y).
  2. f é decrescente, isto é, para x<y temos f(x)\ge f(y).

Passo 3

Caso f crescente.
Defina
L = \sup\bigl\{f(x)\mid x\in(a,b)\bigr\}.
Como f é limitada acima, esse supremo L é finito. Vamos mostrar que
\lim_{x\to b^-}f(x)=L.

Passo 4

Prova do limite para f crescente.
Seja \varepsilon>0. Como L é supremo, existe algum c\in(a,b) tal que
f\text{(c)}>L-\varepsilon.
Como f é crescente, para todo x\in(c,b) vale
f\text{(c)}\le f(x)\le L,
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L-\varepsilon < f(x)\le L.
Isto é \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon sempre que x>c. Basta então escolher
\delta = b-c>0
para garantir que, se 0<b-x<\delta, então x>c e \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon. Assim \lim_{x\to b^-}f(x)=L.

Passo 5

Caso f decrescente.
Defina
M = \inf\bigl\{f(x)\mid x\in(a,b)\bigr\},
que existe e é finito pois f é limitada inferiormente. Um argumento análogo ao do caso crescente mostra que
\lim_{x\to b^-}f(x)=M.

Resposta

Se f é crescente, então
\lim_{x\to b^-}f(x) =\sup_{x\in(a,b)}f(x).
Se f é decrescente, então
\lim_{x\to b^-}f(x) =\inf_{x\in(a,b)}f(x).

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