Considere a função f(x)=\sin (x)-x / 2.
a) Use o Teorema de Bolzano para isolar uma raiz no intervalo [1,2]. Justifique sua resposta avaliando a função nos extremos do intervalo.
b) Verifique se a função f(x) satisfaz a condição da observação sobre a unicidade da raiz nesse intervalo, calculando e analisando o sinal da derivada f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin(x)-x/2 e pede duas coisas no intervalo [1,2]:
  • (a) Usar o Teorema de Bolzano para isolar (ou seja, garantir a existência de) uma raiz em [1,2]. Para isso preciso avaliar f nos extremos x=1 e x=2 e verificar se há mudança de sinal.
  • (b) Verificar se a função satisfaz a condição de unicidade da raiz dada numa observação (essa condição costuma ser: se f' não muda de sinal em [1,2], então f é estritamente monotona e a raiz é única). Para isso devo calcular f'(x) e analisar o seu sinal em [1,2].
Informações relevantes que já tenho do enunciado: a expressão explícita de f e o intervalo [1,2]. Não há outras figuras ou tabelas.

Passo 2

Relembrando o que vou usar (de forma prática, sem assumir que você já sabe): o Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário) diz o seguinte: se uma função g é contínua em um intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Aqui vou aplicar isso a g=f.
Antes de aplicar Bolzano é necessário justificar que f é contínua em [1,2]. Explico: \sin(x) é contínua em todo \mathbb{R} e a função linear x/2 também é contínua; a soma/diferença de funções contínuas é contínua. Logo f é contínua em [1,2], condição satisfeita para aplicar Bolzano.

Passo 3

Agora avalio f nos extremos. Vou calcular passo a passo:
  • Primeiro f(1):
    f(1)=\sin(1)-\frac{1}{2}.
    Sabemos (tabela ou calculadora mental aproximada) que \sin(1)\approx 0,8414709848. Então
    f(1)\approx 0,8414709848 - 0,5 = 0,3414709848.
    Para não complicar, registro a aproximação: f(1)\approx 0,34147, que é positivo.
  • Agora f(2):
    f(2)=\sin(2)-\frac{2}{2}=\sin(2)-1.
    Sabemos que \sin(2)\approx 0,9092974268. Então
    f(2)\approx 0,9092974268 - 1 = -0,0907025732.
    Ou seja f(2)\approx -0,09070, que é negativo.
Resumo numérico: f(1)\approx 0,34147>0 e f(2)\approx -0,09070<0.

Passo 4

Aplicando Bolzano: f é contínua em [1,2] e f(1)\cdot f(2)<0 (positivo vezes negativo). Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, há pelo menos uma raiz de f no intervalo (1,2). Isso isola a existência de uma raiz em [1,2].
Pequeno lembrete didático: o que fiz foi verificar uma mudança de sinal nos extremos; quando a função é contínua, essa mudança de sinal garante que ela “passa por zero” em algum ponto entre os extremos.

Passo 5

Agora vou à parte (b): calcular a derivada e analisar seu sinal.
Calcular f'(x):
  • Derivada de \sin(x) é \cos(x).
  • Derivada de x/2 é 1/2.
Portanto
f'(x)=\cos(x)-\frac{1}{2}.
Expliquei as regras de derivação usadas: derivada da soma/diferença é soma/diferença das derivadas; derivada de ax é a.

Passo 6

Análise do sinal de f'(x)=\cos(x)-\tfrac{1}{2} em [1,2].
  • Primeiro avalio nos extremos:
    f'(1)=\cos(1)-\frac{1}{2}.
    Sabemos \cos(1)\approx 0,5403023059. Então
    f'(1)\approx 0,5403023059-0,5=0,0403023059>0.
    Ou seja f'(1)>0.
    f'(2)=\cos(2)-\frac{1}{2}.
    Sabemos \cos(2)\approx -0,4161468365. Então
    f'(2)\approx -0,4161468365-0,5=-0,9161468365<0.
    Ou seja f'(2)<0.
  • Como f'(1)>0 e f'(2)<0, f' muda de sinal no intervalo. Para localizar onde f' zera, resolvo
    \cos(x)-\frac{1}{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(x)=\frac{1}{2}.
    Uma solução principal é
    x=\frac{\pi}{3}\approx 1,0471975512,
    que pertence ao intervalo [1,2]. Isso mostra que f' é positiva para x<\pi/3 (na porção de [1,2] antes de \pi/3) e negativa para x>\pi/3 (na porção após \pi/3 até 2).

Passo 7

Conclusão sobre a condição de unicidade pedida: a observação que dá uma condição suficiente para unicidade costuma ser a seguinte: “se f'(x) tem sinal constante (sempre \ge 0 ou sempre \le 0) em [1,2], então f é estritamente monotona e, portanto, a raiz em [1,2] seria única”. No nosso caso f'(x) não tem sinal constante em [1,2]: ele é positivo em [1,\pi/3) e negativo em (\pi/3,2], mudando de sinal em x=\pi/3. Portanto a condição suficiente mencionada NÃO é satisfeita por f em [1,2].
Observação adicional (para te acalmar): isso não contradiz a existência de uma única raiz — simplesmente a condição fácil (derivada de sinal constante) não se aplica aqui. De fato, porque f(1)>0 e f(2)<0 e f cresce um pouco até x=\pi/3 e depois decresce, a função só pode cruzar o eixo x uma única vez nesse padrão (começa positiva, não pode cortar enquanto sobe; depois desce e corta uma vez). Isso mostra, por um argumento extra, que a raiz em (1,2) é única mesmo sem a condição direta sobre f'. Mas a resposta direta à pergunta (b) — se a condição sobre f' é satisfeita — é: não.

Resposta

a) Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz c\in(1,2) porque f(1)\approx 0,34147>0 e f(2)\approx -0,09070<0.\n
b) A condição de unicidade via derivada (sinal de f' constante) NÃO é satisfeita: f'(x)=\cos(x)-\tfrac{1}{2}, tem f'(1)\approx 0,04030>0, f'(2)\approx -0,91615<0 e zera em x=\tfrac{\pi}{3}\approx 1,0472\in(1,2), portanto muda de sinal no intervalo.

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