Considere a função
.
a) Use o Teorema de Bolzano para isolar uma raiz no intervalo
. Justifique sua resposta avaliando a função nos extremos do intervalo.
b) Verifique se a função
satisfaz a condição da observação sobre a unicidade da raiz nesse intervalo, calculando e analisando o sinal da derivada
.
a) Use o Teorema de Bolzano para isolar uma raiz no intervalo
b) Verifique se a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas no intervalo
:
- (a) Usar o Teorema de Bolzano para isolar (ou seja, garantir a existência de) uma raiz em
. Para isso preciso avaliar nos extremos e e verificar se há mudança de sinal. - (b) Verificar se a função satisfaz a condição de unicidade da raiz dada numa observação (essa condição costuma ser: se
não muda de sinal em , então é estritamente monotona e a raiz é única). Para isso devo calcular e analisar o seu sinal em .
Informações relevantes que já tenho do enunciado: a expressão explícita de
e o intervalo
. Não há outras figuras ou tabelas.
Passo 2
Relembrando o que vou usar (de forma prática, sem assumir que você já sabe): o Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário) diz o seguinte: se uma função
é contínua em um intervalo
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
. Aqui vou aplicar isso a
.
Antes de aplicar Bolzano é necessário justificar que
é contínua em
. Explico:
é contínua em todo
e a função linear
também é contínua; a soma/diferença de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em
, condição satisfeita para aplicar Bolzano.
Passo 3
Agora avalio
nos extremos. Vou calcular passo a passo:
-
Primeiro
: Sabemos (tabela ou calculadora mental aproximada) que. Então Para não complicar, registro a aproximação:, que é positivo. -
Agora
: Sabemos que. Então Ou seja, que é negativo.
Resumo numérico:
e
.
Passo 4
Aplicando Bolzano:
é contínua em
e
(positivo vezes negativo). Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, há pelo menos uma raiz de
no intervalo
. Isso isola a existência de uma raiz em
.
Pequeno lembrete didático: o que fiz foi verificar uma mudança de sinal nos extremos; quando a função é contínua, essa mudança de sinal garante que ela “passa por zero” em algum ponto entre os extremos.
Passo 5
Agora vou à parte (b): calcular a derivada e analisar seu sinal.
Calcular
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Expliquei as regras de derivação usadas: derivada da soma/diferença é soma/diferença das derivadas; derivada de
é
.
Passo 6
Análise do sinal de
em
.
-
Primeiro avalio nos extremos:Sabemos
. Então Ou seja. Sabemos. Então Ou seja. -
Como
e , muda de sinal no intervalo. Para localizar onde zera, resolvo Uma solução principal éque pertence ao intervalo. Isso mostra que é positiva para (na porção de antes de ) e negativa para (na porção após até ).
Passo 7
Conclusão sobre a condição de unicidade pedida: a observação que dá uma condição suficiente para unicidade costuma ser a seguinte: “se
tem sinal constante (sempre
ou sempre
) em
, então
é estritamente monotona e, portanto, a raiz em
seria única”. No nosso caso
não tem sinal constante em
: ele é positivo em
e negativo em
, mudando de sinal em
. Portanto a condição suficiente mencionada NÃO é satisfeita por
em
.
Observação adicional (para te acalmar): isso não contradiz a existência de uma única raiz — simplesmente a condição fácil (derivada de sinal constante) não se aplica aqui. De fato, porque
e
e
cresce um pouco até
e depois decresce, a função só pode cruzar o eixo
uma única vez nesse padrão (começa positiva, não pode cortar enquanto sobe; depois desce e corta uma vez). Isso mostra, por um argumento extra, que a raiz em
é única mesmo sem a condição direta sobre
. Mas a resposta direta à pergunta (b) — se a condição sobre
é satisfeita — é: não.
Resposta
a) Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz
porque
e
.\n
b) A condição de unicidade via derivada (sinal de constante) NÃO é satisfeita:
, tem
,
e zera em
, portanto muda de sinal no intervalo.
b) A condição de unicidade via derivada (sinal de