e o objetivo é resolver Ax=b usando a fatoração de Cholesky (ou seja, encontrar x).]
Passo 2
Condição para aplicar Cholesky e verificação rápida: a fatoração de Cholesky exige que A seja simétrica e definida positiva. Primeiro verificamos simetria observando a matriz A dada: os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais, logo A é simétrica.
Para confirmar que A é definida positiva usamos os menores principais principais (critérios simples):
\begin{aligned} \text{1º menor principal: }&a_{11}=4>0,\\[4pt] \text{2º menor principal: }&\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix}=4\cdot5-2\cdot2=20-4=16>0,\\[4pt] \text{3º menor principal: }&\det(A)= 4\det\begin{pmatrix}5&1\\[4pt]1&3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]2&3\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}2&5\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=32>0. \end{aligned}ººº
Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva. Portanto podemos aplicar Cholesky.]
Passo 3
Apresentação do método (fórmulas) de forma didática:
Queremos encontrar uma matriz triangular inferior L com entradas l_{ij} tal que
Explicando em palavras: cada elemento da diagonal de L é a raiz quadrada do elemento correspondente de A menos a soma dos quadrados dos elementos já calculados na mesma linha de L; os elementos abaixo da diagonal são obtidos dividindo o elemento correspondente de A pela componente de L já obtida na mesma coluna.]
Passo 4
Cálculo de l_{11},\,l_{21},\,l_{31} usando as fórmulas e os dados de A: