Resolva o sistema linear abaixo pela Fatoração de Cholesky
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=10 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+1 x_{3}=13 \\\\ 2 x_{1}+1 x_{2}+3 x_{3}=7 \end{array}\right.

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=10,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+1x_{3}=13,\\[4pt] 2x_{1}+1x_{2}+3x_{3}=7, \end{cases}
As informações relevantes que o enunciado dá:
A=\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\[4pt]2 & 5 & 1\\[4pt]2 & 1 & 3\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]13\\[4pt]7\end{pmatrix},
e o objetivo é resolver Ax=b usando a fatoração de Cholesky (ou seja, encontrar x).]

Passo 2

Condição para aplicar Cholesky e verificação rápida: a fatoração de Cholesky exige que A seja simétrica e definida positiva. Primeiro verificamos simetria observando a matriz A dada: os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais, logo A é simétrica.
Para confirmar que A é definida positiva usamos os menores principais principais (critérios simples):
\begin{aligned} \text{1º menor principal: }&a_{11}=4>0,\\[4pt] \text{2º menor principal: }&\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix}=4\cdot5-2\cdot2=20-4=16>0,\\[4pt] \text{3º menor principal: }&\det(A)= 4\det\begin{pmatrix}5&1\\[4pt]1&3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]2&3\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}2&5\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=32>0. \end{aligned}ººº
Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva. Portanto podemos aplicar Cholesky.]

Passo 3

Apresentação do método (fórmulas) de forma didática:
Queremos encontrar uma matriz triangular inferior L com entradas l_{ij} tal que
A=LL^{T}.
Aqui L é do tipo
L=\begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix},
com l_{ii}>0. As fórmulas usuais (que derivam da igualdade A=LL^{T}) são:
\begin{aligned} l_{11} &=\sqrt{a_{11}},\\[4pt] l_{j1} &=\dfrac{a_{j1}}{l_{11}}\quad\text{para }j=2,3,\\[6pt] l_{22} &=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}},\\[6pt] l_{32} &=\dfrac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}},\\[6pt] l_{33} &=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}. \end{aligned}
Explicando em palavras: cada elemento da diagonal de L é a raiz quadrada do elemento correspondente de A menos a soma dos quadrados dos elementos já calculados na mesma linha de L; os elementos abaixo da diagonal são obtidos dividindo o elemento correspondente de A pela componente de L já obtida na mesma coluna.]

Passo 4

Cálculo de l_{11},\,l_{21},\,l_{31} usando as fórmulas e os dados de A:
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
Para j=2,3:
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{2}{2}=1, \qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Cálculo de l_{22} e l_{32}:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{5-1^{2}}=\sqrt{4}=2.
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}}=\frac{1-1\cdot1}{2}=\frac{0}{2}=0.

Passo 6

Cálculo de l_{33}:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}=\sqrt{3-1^{2}-0^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 7

Montamos a matriz L encontrada:
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.
Você pode checar mentalmente que LL^{T} retorna A (isso confirma a fatoração).]

Passo 8

Resolver Ax=b por dois passos usando a fatoração A=LL^{T}:
  1. resolver Ly=b (substituição para frente) para encontrar y;
  2. resolver L^{T}x=y (substituição para trás) para encontrar x.
Escrevendo Ly=b explicitamente:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]y_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]13\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 9

Substituição para frente (calcular y):
Primeira equação:
2y_{1}=10\quad\Rightarrow\quad y_{1}=\frac{10}{2}=5.
Segunda equação:
1\cdot y_{1}+2\cdot y_{2}=13\quad\Rightarrow\quad y_{2}=\frac{13-y_{1}}{2}=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}=4.
Terceira equação:
1\cdot y_{1}+0\cdot y_{2}+\sqrt{2}\,y_{3}=7\quad\Rightarrow\quad y_{3}=\frac{7-y_{1}}{\sqrt{2}}=\frac{7-5}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Logo
y=\begin{pmatrix}5\\[4pt]4\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Substituição para trás para resolver L^{T}x=y. A matriz L^{T} é
L^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix},
então o sistema L^{T}x=y é
\begin{cases} 2x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=5,\\[4pt] 2x_{2}=4,\\[4pt] \sqrt{2}\,x_{3}=\sqrt{2}. \end{cases}
Resolvendo de trás para frente:
x_{3}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1, \qquad x_{2}=\frac{4}{2}=2,
e finalmente
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=5\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=5-x_{2}-x_{3}=5-2-1=2,
logo
x_{1}=\frac{2}{2}=1.]

Passo 11

Breve verificação (opcional, mas dá confiança): calculando Ax com x=(1,2,1)^{T},
A x= \begin{pmatrix} 4\cdot1+2\cdot2+2\cdot1\\[4pt] 2\cdot1+5\cdot2+1\cdot1\\[4pt] 2\cdot1+1\cdot2+3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]13\\[4pt]7\end{pmatrix}=b,
confirma que a solução está correta. Força aí — você conseguiu!]

Resposta

x_{1}=1\
x_{2}=2\
x_{3}=1

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