Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- A função dada é
. - Perguntas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume). - Esboçar o gráfico de
.
- Determinar o domínio de
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita
, onde é o valor absoluto (módulo) de um número real.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e implicação para o domínio (aula rápida e didática).
- Definição: para qualquer número real
Ou seja,
até
na reta real; sempre é um número não negativo. - Como
e estão bem definidos para qualquer e , a expressão está definida para quaisquer valores reais de e .
Conclusão (sem calcular ainda): o domínio é todo o plano
. Vamos formalizar isso no passo de resultado, mas a intuição é simples: não há restrição de raiz, divisão por zero ou logaritmo — só somas de módulos, sempre válidas.]
Passo 3
Determinar a imagem — por que os valores são não negativos, existe mínimo e não existe máximo.
-
Primeiro, para quaisquer
vale porque ambas parcelas são. Assim nunca é negativo; todos os valores da imagem são . -
Existe valor mínimo? Sim. Se
e , então Logopertence à imagem. Como todos os valores são , é o mínimo possível. -
É único o ponto onde atinge
? Sim: se então . Como e , a soma só é zero quando e , isto é, e . Logo o mínimo é atingido somente em . -
Existe máximo (maior valor que
atinge)? Não — tomando ou arbitrariamente grandes em módulo, cresce sem limite. Por exemplo, quando . Portanto não há máximo finito. -
Agora mostramos que todo número real não negativo é realmente assumido por
: para dado basta escolher, por exemplo, . Então Assim todoestá na imagem.
Conclusão: a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Interpretação geométrica: nível e norma L1 (ideia prática para desenhar).
- A equação de nível
é - Para
essa equação descreve um losango (um quadrado girado de 45°) centrado na origem com vértices em e . Explicando: para um fixo com , temos , logo , que é exatamente a fronteira de um losango de “raio” . - Para
a curva de nível é o ponto .
Observação intuitiva:
é a “distância Manhattan” (ou norma
) de
à origem — distância medida movendo-se apenas em direções horizontais e verticais. Isso explica porque as curvas de nível são quadrados rotacionados.
Passo 5
Descrição do gráfico em 3D: é uma pirâmide de quatro faces planas (passo a passo).
- Em cada quadrante do plano
- Em cada um desses quatro pedaços,
, que é o conjunto
, é a união de quatro planos que se encontram ao longo das arestas definidas pelos eixos e . - Esses quatro planos têm um ponto em comum: o vértice
. A superfície resultante é uma pirâmide com vértice na origem e “fundo” estendendo-se ao infinito — mais precisamente, é uma pirâmide de base quadrada numa seção horizontal, mas sem teto (a superfície cresce linearmente para cima em todas as direções). - Características úteis para o esboço:
- Seccionando horizontalmente por
obtemos o losango (curvas de nível). - Seccionando por uma reta, por exemplo
, obtemos : um “V” no plano . - Ao olhar de cima (projeção
), as curvas de nível são losangos concêntricos. - Ao olhar lateralmente por uma direção
constante, é função afim em com canto no ; o mesmo para constante.]
- Seccionando horizontalmente por
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
- Desenhe os eixos
e (plano) e marque alguns valores positivos. - Para cada
desenhe o losango com vértices em e . - Cada losango corresponde a uma “altura”
. Imagine uma camada horizontal em altura e coloque o losango nessa altura. - Juntando os losangos para várias alturas obtém-se uma pirâmide de quatro faces planas: todas as linhas que ligam a origem aos vértices
, etc. são arestas aparentes do sólido. - Para reforçar, desenhe a seção pela reta
: um “V” com vértice em subindo linearmente para os dois lados; idem para a seção .
Dica visual: pense em um chapéu pontudo quadrado com vértice na origem; cada face é um plano inclinado.
Passo 7
Recapitulando as fórmulas e propriedades que ajudam na prova (resumo didático).
- Domínio: todos os pares
com . - Imagem: todos os números reais não negativos
. - Curvas de nível:
é um losango com vértices e . - Gráfico: união de quatro planos dados por
em seus respectivos quadrantes; superfície com vértice e sem teto (vai a ).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: superfície composta por quatro planos (para :
; para
:
; para
:
; para
:
), formando uma pirâmide de quatro faces com vértice em
.
Imagem:
Gráfico: superfície composta por quatro planos (para