Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
f(x, y)=|x|+|y|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • A função dada é f(x,y)=|x|+|y|.
  • Perguntas:
    1. Determinar o domínio de f.
    2. Determinar a imagem (conjunto de valores que f assume).
    3. Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita f(x,y)=|x|+|y|, onde |\cdot| é o valor absoluto (módulo) de um número real.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e implicação para o domínio (aula rápida e didática).
  • Definição: para qualquer número real t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}Ou seja, |t|\] é a distância de \(t até 0 na reta real; sempre é um número não negativo.
  • Como |x| e |y| estão bem definidos para qualquer x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R}, a expressão |x|+|y| está definida para quaisquer valores reais de x e y.
Conclusão (sem calcular ainda): o domínio é todo o plano \mathbb{R}^2. Vamos formalizar isso no passo de resultado, mas a intuição é simples: não há restrição de raiz, divisão por zero ou logaritmo — só somas de módulos, sempre válidas.]

Passo 3

Determinar a imagem — por que os valores são não negativos, existe mínimo e não existe máximo.
  • Primeiro, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale
    f(x,y)=|x|+|y|\ge 0,
    porque ambas parcelas são \ge 0. Assim f(x,y) nunca é negativo; todos os valores da imagem são \ge 0.
  • Existe valor mínimo? Sim. Se x=0 e y=0, então
    f(0,0)=|0|+|0|=0.
    Logo 0 pertence à imagem. Como todos os valores são \ge 0, 0 é o mínimo possível.
  • É único o ponto onde atinge 0? Sim: se f(x,y)=0 então |x|+|y|=0. Como |x|\ge 0 e |y|\ge 0, a soma só é zero quando |x|=0 e |y|=0, isto é, x=0 e y=0. Logo o mínimo 0 é atingido somente em (0,0).
  • Existe máximo (maior valor que f atinge)? Não — tomando x ou y arbitrariamente grandes em módulo, f(x,y) cresce sem limite. Por exemplo, f(t,0)=|t|\to\infty quando |t|\to\infty. Portanto não há máximo finito.
  • Agora mostramos que todo número real não negativo é realmente assumido por f: para dado c\ge 0 basta escolher, por exemplo, (x,y)=(c,0). Então
    f(c,0)=|c|+|0|=c.
    Assim todo c\ge 0 está na imagem.
Conclusão: a imagem é o intervalo [0,\infty).

Passo 4

Interpretação geométrica: nível e norma L1 (ideia prática para desenhar).
  • A equação de nível f(x,y)=c é |x|+|y|=c.
  • Para c>0 essa equação descreve um losango (um quadrado girado de 45°) centrado na origem com vértices em (\pm c,0) e (0,\pm c). Explicando: para um x fixo com |x|\le c, temos |y|=c-|x|, logo y=\pm(c-|x|), que é exatamente a fronteira de um losango de “raio” c.
  • Para c=0 a curva de nível é o ponto (0,0).
Observação intuitiva: f(x,y) é a “distância Manhattan” (ou norma L^1) de (x,y) à origem — distância medida movendo-se apenas em direções horizontais e verticais. Isso explica porque as curvas de nível são quadrados rotacionados.

Passo 5

Descrição do gráfico em 3D: é uma pirâmide de quatro faces planas (passo a passo).
  • Em cada quadrante do plano (x,y)\) a função perde as barras e vira uma combinação linear simples. Escrevemos \(f\) de forma peça-a-peça: \[f(x,y)= \begin{cases} x+y, & \text{se } x\ge 0,\\ y\ge 0,\\[4pt] -x+y, & \text{se } x<0,\\ y\ge 0,\\[4pt] -x-y, & \text{se } x<0,\\ y<0,\\[4pt] x-y, & \text{se } x\ge 0,\\ y<0. \end{cases}
  • Em cada um desses quatro pedaços, z=f(x,y)\] é a equação de um plano. Portanto o gráfico de \(f, que é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=|x|+|y|\}, é a união de quatro planos que se encontram ao longo das arestas definidas pelos eixos x=0 e y=0.
  • Esses quatro planos têm um ponto em comum: o vértice (0,0,0). A superfície resultante é uma pirâmide com vértice na origem e “fundo” estendendo-se ao infinito — mais precisamente, é uma pirâmide de base quadrada numa seção horizontal, mas sem teto (a superfície cresce linearmente para cima em todas as direções).
  • Características úteis para o esboço:
    • Seccionando horizontalmente por z=c>0 obtemos o losango |x|+|y|=c (curvas de nível).
    • Seccionando por uma reta, por exemplo y=0, obtemos z=|x|: um “V” no plano y=0.
    • Ao olhar de cima (projeção (x,y,z)\mapsto(x,y)), as curvas de nível são losangos concêntricos.
    • Ao olhar lateralmente por uma direção x= constante, z é função afim em y com canto no y=0; o mesmo para y= constante.]

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
  1. Desenhe os eixos x e y (plano) e marque alguns valores c_1<c_2<c_3 positivos.
  2. Para cada c_i desenhe o losango |x|+|y|=c_i com vértices em (\pm c_i,0) e (0,\pm c_i).
  3. Cada losango corresponde a uma “altura” z=c_i. Imagine uma camada horizontal em altura c_i e coloque o losango nessa altura.
  4. Juntando os losangos para várias alturas obtém-se uma pirâmide de quatro faces planas: todas as linhas que ligam a origem aos vértices (c_i,0,c_i), (0,c_i,c_i) etc. são arestas aparentes do sólido.
  5. Para reforçar, desenhe a seção pela reta y=0: um “V” com vértice em (0,0,0) subindo linearmente para os dois lados; idem para a seção x=0.
Dica visual: pense em um chapéu pontudo quadrado com vértice na origem; cada face é um plano inclinado.

Passo 7

Recapitulando as fórmulas e propriedades que ajudam na prova (resumo didático).
  • Domínio: todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{R}.
  • Imagem: todos os números reais não negativos [0,\infty).
  • Curvas de nível: |x|+|y|=c é um losango com vértices (\pm c,0) e (0,\pm c).
  • Gráfico: união de quatro planos dados por z=x+y,\\ z=-x+y,\\ z=-x-y,\\ z=x-y em seus respectivos quadrantes; superfície com vértice (0,0,0) e sem teto (vai a +\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: superfície composta por quatro planos (para x\ge0,y\ge0: z=x+y; para x<0,y\ge0: z=-x+y; para x<0,y<0: z=-x-y; para x\ge0,y<0: z=x-y), formando uma pirâmide de quatro faces com vértice em (0,0,0).

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