(1,0) Determinar e esboçar o domínio da função abaixo. Descreva também com suas palavras o domínio de f.
f(x, y, z)=\frac{\sqrt{16-x^{2}}+\sqrt{9-y^{2}}+\sqrt{4-z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função
f(x,y,z)=\frac{\sqrt{16-x^{2}}+\sqrt{9-y^{2}}+\sqrt{4-z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1}}.
  • Esboçar esse domínio e descrevê‑lo com palavras.
Informações dadas (condições que aparecem na expressão):
  • Existem raízes quadradas no numerador: \sqrt{16-x^{2}}, \sqrt{9-y^{2}}, \sqrt{4-z^{2}}.
  • Existe uma raiz quadrada no denominador: \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1}.
  • Há uma divisão por essa raiz do denominador, então não podemos permitir que o denominador seja zero.

Passo 2

Regra importante sobre raiz quadrada: a raiz real \sqrt{t} está definida somente para t\ge 0. Portanto cada radicando do numerador impõe uma desigualdade:
16-x^{2}\ge 0,\qquad 9-y^{2}\ge 0,\qquad 4-z^{2}\ge 0.
Resolvendo cada uma:
16-x^{2}\ge 0\\ \Rightarrow\\\ -4\le x\le 4,
9-y^{2}\ge 0\\ \Rightarrow\\\ -3\le y\le 3,
4-z^{2}\ge 0\\ \Rightarrow\\\ -2\le z\le 2.
Explicação didática: isso vem de isolar x^{2}\le 16 etc., e tirar a raiz dá os intervalos simétricos em torno de zero. Esses intervalos garantem que cada termo do numerador seja um número real não negativo.

Passo 3

Agora a condição do denominador. Para a raiz do denominador ser real, precisa valer
x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 \ge 0 \quad\text{ou seja}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1.
Mas além de ser real, esse valor fica no denominador da fração: não podemos dividir por zero. Logo a condição é estrita:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-1>0 \quad\text{ou seja}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}>1.
Didática: diferença entre \ge e > aqui é crucial — pontos onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 fariam \sqrt{0}=0 no denominador e a divisão seria proibida.

Passo 4

Juntando todas as condições (interseção das restrições do numerador e do denominador), obtemos o domínio D formado por todos os pontos (x,y,z) tais que simultaneamente
-4\le x\le 4,\qquad -3\le y\le 3,\qquad -2\le z\le 2,
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}>1.
Em palavras: é a interseção do paralelepípedo (caixa) \,[-4,4]\times[-3,3]\times[-2,2]\, com o conjunto dos pontos fora (estritamente fora) da bola de raio 1 centrada na origem.

Passo 5

Observações importantes e exemplos:
  • Pontos sobre a superfície da esfera de raio 1 (onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=1) estão excluídos (denominador zero).
  • Pontos com norma menor que 1 (dentro da bola de raio 1) estão excluídos, mesmo que pertençam à caixa, porque aí o radicando do denominador seria negativo.
  • Pontos na caixa e com norma maior que 1 estão permitidos; por exemplo (2,0,0) satisfaz -4\le 2\le4 e 2^{2}+0+0=4>1, então pertence ao domínio.
  • É permitido que quaisquer dos radicandos do numerador sejam zero (por exemplo x=\pm4 zeram \sqrt{16-x^{2}}); isso não causa problema, pois zero no numerador é válido desde que o denominador não seja zero.

Passo 6

Para desenhar o domínio:
  • Desenhar o paralelepípedo com vértices em (\pm4,\pm3,\pm2).
  • Desenhar a esfera de raio 1 centrada na origem.
  • O domínio é a parte do interior da caixa que fica fora da esfera (a cavidade esférica é removida). Em uma seção transversal simples, por exemplo em z=0, o desenho reduz a um retângulo [-4,4]\times[-3,3] com um círculo de raio 1 removido (o círculo e sua interior excluídos).

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -4\le x\le4,\;-3\le y\le3,\;-2\le z\le2,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}>1\}.
É a interseção do paralelepípedo [-4,4]\times[-3,3]\times[-2,2] com o exterior aberto da bola de raio 1 centrada na origem (ou seja, a caixa com a cavidade esférica de raio 1 removida).

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