Determinar e esboçar o domínio da função abaixo. Descreva também com suas palavras o domínio de f.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função
- Esboçar esse domínio e descrevê‑lo com palavras.
Informações dadas (condições que aparecem na expressão):
- Existem raízes quadradas no numerador:
, , . - Existe uma raiz quadrada no denominador:
. - Há uma divisão por essa raiz do denominador, então não podemos permitir que o denominador seja zero.
Passo 2
Regra importante sobre raiz quadrada: a raiz real
está definida somente para
. Portanto cada radicando do numerador impõe uma desigualdade:
Resolvendo cada uma:
Explicação didática: isso vem de isolar
etc., e tirar a raiz dá os intervalos simétricos em torno de zero. Esses intervalos garantem que cada termo do numerador seja um número real não negativo.
Passo 3
Agora a condição do denominador. Para a raiz do denominador ser real, precisa valer
Mas além de ser real, esse valor fica no denominador da fração: não podemos dividir por zero. Logo a condição é estrita:
Didática: diferença entre
e
aqui é crucial — pontos onde
fariam
no denominador e a divisão seria proibida.
Passo 4
Juntando todas as condições (interseção das restrições do numerador e do denominador), obtemos o domínio
formado por todos os pontos
tais que simultaneamente
e
Em palavras: é a interseção do paralelepípedo (caixa)
com o conjunto dos pontos fora (estritamente fora) da bola de raio
centrada na origem.
Passo 5
Observações importantes e exemplos:
- Pontos sobre a superfície da esfera de raio
(onde ) estão excluídos (denominador zero). - Pontos com norma menor que
(dentro da bola de raio ) estão excluídos, mesmo que pertençam à caixa, porque aí o radicando do denominador seria negativo. - Pontos na caixa e com norma maior que
estão permitidos; por exemplo satisfaz e , então pertence ao domínio. - É permitido que quaisquer dos radicandos do numerador sejam zero (por exemplo
zeram ); isso não causa problema, pois zero no numerador é válido desde que o denominador não seja zero.
Passo 6
Para desenhar o domínio:
- Desenhar o paralelepípedo com vértices em
. - Desenhar a esfera de raio
centrada na origem. - O domínio é a parte do interior da caixa que fica fora da esfera (a cavidade esférica é removida). Em uma seção transversal simples, por exemplo em
, o desenho reduz a um retângulo com um círculo de raio removido (o círculo e sua interior excluídos).
Resposta
É a interseção do paralelepípedo
com o exterior aberto da bola de raio
centrada na origem (ou seja, a caixa com a cavidade esférica de raio
removida).