Seja a superfície S: z=2\left(x^{2}+y^{2}\right) :
a. Determina as curvas coordenadas para u=\pi / 4 e v=1;
b. A equação da reta normal a S em P(\pi / 4,1); e
c. A equação do plano tangente a S em P.

Passo 1

O enunciado define a superfície
S:\;z=2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede:
a. as curvas coordenadas para u=\pi/4 e v=1;
b. a reta normal a S em P(\pi/4,1);
c. o plano tangente a S em P.
Vamos usar a parametrização canônica
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(u,\;v,\;2(u^{2}+v^{2})\bigr)
para tirar as curvas, os vetores tangentes, a normal e daí a reta e o plano.

Passo 2

As curvas coordenadas vêm de fixar um parâmetro e deixar o outro variar:
Para u=\pi/4 temos
\mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{4},v\bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\;v,\;2\bigl((\tfrac{\pi}{4})^{2}+v^{2}\bigr)\Bigr).
Para v=1 temos
\mathbf{r}\bigl(u,1\bigr) =\bigl(u,\;1,\;2(u^{2}+1)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
\mathbf{r}_u=(1,\,0,\,4u), \quad \mathbf{r}_v=(0,\,1,\,4v).
Em \bigl(u,v\bigr)=(\tfrac{\pi}{4},1) isso dá
\mathbf{r}_u\bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr)=(1,\,0,\,\pi), \quad \mathbf{r}_v\bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr)=(0,\,1,\,4).
O ponto P na superfície é
P=\mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,1,\;2\bigl((\tfrac{\pi}{4})^{2}+1\bigr)\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,1,\;\tfrac{\pi^{2}}{8}+2\Bigr).

Passo 4

O vetor normal é
\mathbf{n} =\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\det\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&\pi\\\\ 0&1&4 \end{vmatrix} =(-\pi,\,-4,\,1).
Podemos usar a direção oposta (\pi,4,-1) para a reta normal. Assim, a reta normal em P tem equações paramétricas
x=\tfrac{\pi}{4}+\pi\,t, \quad y=1+4\,t, \quad z=\Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{8}+2\Bigr)-t.

Passo 5

O plano tangente em P tem vetor normal \mathbf{n}=(-\pi,-4,1) e passa por P, logo é dado por
-\pi\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)-4(y-1)+1\bigl(z-(\tfrac{\pi^{2}}{8}+2)\bigr)=0.
Simplificando, chega-se a
z=\pi\,x+4\,y-\frac{\pi^{2}}{8}-2.

Resposta

a. As curvas coordenadas são
\mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{4},v\bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{4},v,2\bigl((\tfrac{\pi}{4})^{2}+v^{2}\bigr)\Bigr), \quad \mathbf{r}(u,1) =\bigl(u,1,2(u^{2}+1)\bigr).
b. Reta normal em P:
x=\tfrac{\pi}{4}+\pi\,t,\quad y=1+4\,t,\quad z=\tfrac{\pi^{2}}{8}+2 - t.
c. Plano tangente em P:
z=\pi\,x+4\,y-\frac{\pi^{2}}{8}-2.

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