(1.5 pontos) Teste a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+4} quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
quanto à convergência ou divergência. O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e o uso do teste da comparação, mais especificamente o teste da comparação por limite.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Para escolher uma série de comparação, observamos que, para n grande,
n^{3}+4\sim n^{3},
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a_{n}\sim \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.
Fazemos então a comparação com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n},\quad b_{n}=\frac{1}{n},
que é conhecida por divergir (série p-com p=1).

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite, calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+4}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+4} =1.
Como esse limite é finito e estritamente positivo ( 0<1<\infty), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
também é divergente.

Resposta

A série diverge.

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