Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, encontre os pontos críticos, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, analise as regiões com concavidade para cima e para baixo, identifique os pontos de inflexão e, por fim, calcule os limites necessários para determinar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
obtendo os pontos críticos (para monotonicidade), os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade para cima e para baixo, os pontos de inflexão e, por fim, os limites necessários para determinar assíntotas horizontais e verticais.
Passo 2
Domínio: todos os reais, pois
nunca.
Calculamos a derivada de por quociente:
Calculamos a derivada de
Os pontos em que
são dados por
Passo 3
Para analisar o sinal de
:
Se então
e
, logo
(função crescente em
).
Se então
, logo
(função decrescente em
e
).
Em a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em
Se
Se
Em
Em
a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local em
Passo 4
Para a concavidade, derivamos novamente. Tomando
usando a regra do produto e a regra da cadeia obtém-se
Zeramos o numerador:
ou
. Como
sempre, o sinal de
obedece ao fator
:
para ,
e
(concav. para baixo);
para ,
e
(concav. para cima);
para ,
e
(concav. para baixo);
para ,
e
(concav. para cima).
Logo há pontos de inflexão em
para
para
para
para
Logo há pontos de inflexão em
Passo 5
Assíntotas verticais: não existem, pois
para todo
.
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal:
logo
é assíntota horizontal.
Passo 6
Reunindo tudo,
é uma função ímpar (reflexão no origem), passa por
, tem mínimo local em
e máximo local em
, inflexões em
, cresce apenas em
e decresce fora desse intervalo, é concava para baixo em
e côncava para cima em
, e aproxima-se da reta
quando
.
Esse perfil permite esboçar a curva subindo em , atingindo
, depois decrescendo em
em direção a
, e simetricamente para
.
Esse perfil permite esboçar a curva subindo em
Resposta
O gráfico de
tem:
– Domínio .
– Cresce em , decresce em
e
.
– Mínimo local em , máximo local em
.
– Concavidade para baixo em , para cima em
.
– Pontos de inflexão em ,
,
.
– Assíntota horizontal , sem assíntotas verticais.
O esboço mostra a curva subindo de (quando
), atingindo o mínimo em
, passando pelo ponto de inflexão em
, subindo até
, depois caindo novamente e aproximando-se de
quando
, com simetria ímpar.
– Domínio
– Cresce em
– Mínimo local em
– Concavidade para baixo em
– Pontos de inflexão em
– Assíntota horizontal
O esboço mostra a curva subindo de