Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, encontre os pontos críticos, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, analise as regiões com concavidade para cima e para baixo, identifique os pontos de inflexão e, por fim, calcule os limites necessários para determinar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem:
f(x)=x1+x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x1+x^2,
obtendo os pontos críticos (para monotonicidade), os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade para cima e para baixo, os pontos de inflexão e, por fim, os limites necessários para determinar assíntotas horizontais e verticais.

Passo 2

Domínio: todos os reais, pois 1+x^2neq0 nunca.
Calculamos a derivada de f por quociente:
f'(x) =(1+x^2)cdot1 - xcdot2x(1+x^2)^2 =1 - x^2(1+x^2)^2
Os pontos em que f'(x)=0 são dados por
1 - x^2=0 Longrightarrow x=pm1

Passo 3

Para analisar o sinal de f'(x):
Se lvert xrvert<1 então 1-x^2>0 e (1+x^2)^2>0, logo f'(x)>0 (função crescente em (-1,1)).
Se lvert xrvert>1 então 1-x^2<0, logo f'(x)<0 (função decrescente em (-infty,-1) e (1,infty)).
Em x=-1 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em
f(-1)=-11+1=-tfrac12
Em x=1 a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local em
f(1)=11+1=tfrac12

Passo 4

Para a concavidade, derivamos novamente. Tomando
f'(x)=(1-x^2)(1+x^2)^-2,
usando a regra do produto e a regra da cadeia obtém-se
f''(x) =-2x3 - x^2(1+x^2)^3
Zeramos o numerador: x=0 ou x=pmraiz3. Como (1+x^2)^3>0 sempre, o sinal de f'' obedece ao fator -2x(3-x^2):
para x< -raiz3, x<0 e 3-x^2<0 implies f''<0 (concav. para baixo);
para -raiz3<x<0, x<0 e 3-x^2>0 implies f''>0 (concav. para cima);
para 0<x<raiz3, x>0 e 3-x^2>0 implies f''<0 (concav. para baixo);
para x>raiz3, x>0 e 3-x^2<0 implies f''>0 (concav. para cima).
Logo há pontos de inflexão em
(-raiz3,,f(-raiz3))=l(-raiz3,-tfracraiz34r), (0,0), l(raiz3,tfracraiz34r)

Passo 5

Assíntotas verticais: não existem, pois 1+x^2neq0 para todo x.
Assíntota horizontal:
limxtopminftyx1+x^2 =limxtopminfty1/x1+1/x^2 =0,
logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 6

Reunindo tudo, f é uma função ímpar (reflexão no origem), passa por (0,0), tem mínimo local em (-1,-tfrac12) e máximo local em (1,tfrac12), inflexões em x=-raiz3,0,raiz3, cresce apenas em (-1,1) e decresce fora desse intervalo, é concava para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3) e côncava para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty), e aproxima-se da reta y=0 quando xtopminfty.
Esse perfil permite esboçar a curva subindo em -1<x<1, atingindo f(1)=tfrac12, depois decrescendo em x>1 em direção a y=0, e simetricamente para x<0.

Resposta

O gráfico de f(x)=x1+x^2 tem:
– Domínio R.
– Cresce em (-1,1), decresce em (-infty,-1) e (1,infty).
– Mínimo local em (-1,-tfrac12), máximo local em (1,tfrac12).
– Concavidade para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3), para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty).
– Pontos de inflexão em l(-raiz3,-tfracraiz34r), (0,0), l(raiz3,tfracraiz34r).
– Assíntota horizontal y=0, sem assíntotas verticais.
O esboço mostra a curva subindo de yto0^- (quando xto-infty), atingindo o mínimo em x=-1, passando pelo ponto de inflexão em -raiz3, subindo até (1,tfrac12), depois caindo novamente e aproximando-se de y=0 quando xto+infty, com simetria ímpar.

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