Considere a função f(x, y)=2 x+x e^x y e P(2,0).
Se umin é unitário apontando na direção que f(x, y) tem maior taxa de decrescimento, em P(2,0), então umin =( square 0,8 -0,6 ) e a derivada direcional nessa direçãó é square -5 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) = 2x + x e^xy e um ponto específico P(2, 0) . Nosso objetivo é encontrar a direção que faz a função diminuir mais rápido nesse ponto e calcular a derivada direcional nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional da matemática multivariada.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a x e y .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2 + e^xy + xy e^xy
partial fpartial y = x^2 e^xy

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(2, 0) :
partial fpartial xg|(2,0) = 2 + e^2 cdot 0 + 2 cdot 0 cdot e^2 cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3
partial fpartial yg|(2,0) = 2^2 e^2 cdot 0 = 4 cdot 1 = 4
Então, o gradiente no ponto P(2, 0) é:
nabla f(2, 0) = (3, 4)

Passo 4

Sabemos que a direção de maior decrescimento da função é oposta ao gradiente. Ou seja, a direção de maior decrescimento é -nabla f(2, 0) = (-3, -4) .
Mas queremos um vetor unitário nessa direção. Para isso, vamos normalizar o vetor (-3, -4) .
Primeiro, calculamos o módulo do vetor:
| (-3, -4) | = raiz(-3)^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o vetor unitário umin é:
umin = ( -35, -45 ) = (-0.6, -0.8)

Passo 5

No enunciado, a direção umin está escrita como (square , 0.8 ; -0.6) . Observando nosso resultado, vemos que:
umin = (-0.6, -0.8) = ( -0.6 , -0.8 )
Para combinar com o enunciado, podemos reescrever como ( -0.6, -0.8 ) . Mas como o enunciado tem a ordem invertida, provavelmente houve um pequeno erro de sinal. Mantendo a direção correta de decrescimento, nossa resposta é ( -0.6, -0.8 ) .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional nessa direção. A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Dumin f(2, 0) = nabla f(2, 0) cdot umin = (3, 4) cdot (-0.6, -0.8) = 3 times (-0.6) + 4 times (-0.8) = -1.8 -3.2 = -5

Resposta

umin = (-0.6, -0.8) e a derivada direcional nessa direção é -5 çãé

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