A série sumn=1^infty n^3ln (2 n+1) é convergente.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita: sumn=1^infty n^3ln (2n+1). A questão aqui é descobrir se essa série é convergente ou não. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para o infinito. Se não tende a nenhum número específico, a série é divergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando n fica muito grande. Olhando para n^3ln (2n+1), vemos que o numerador cresce bem rápido (como n^3) e o denominador cresce, mas muito mais devagar (como o logaritmo de n).

Passo 4

Um jeito de testar a convergência é usar o Teste da divergência, que diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
limn to infty n^3ln (2n+1)

Passo 5

Calculando o limite, percebemos que n^3 cresce para o infinito e ln (2n+1) também cresce, mas muito mais lentamente. Portanto, o limite é:
limn to infty n^3ln (2n+1) = infty

Passo 6

Como o limite dos termos não é zero (na verdade, ele vai para infinito), de acordo com o Teste da divergência, a série diverge.

Resposta

Falso.

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