A série
é convergente.
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita:
. A questão aqui é descobrir se essa série é convergente ou não. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para o infinito. Se não tende a nenhum número específico, a série é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando n fica muito grande. Olhando para
, vemos que o numerador cresce bem rápido (como
) e o denominador cresce, mas muito mais devagar (como o logaritmo de n).
Passo 4
Um jeito de testar a convergência é usar o Teste da divergência, que diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Passo 5
Calculando o limite, percebemos que
cresce para o infinito e
também cresce, mas muito mais lentamente. Portanto, o limite é:
Passo 6
Como o limite dos termos não é zero (na verdade, ele vai para infinito), de acordo com o Teste da divergência, a série diverge.
Resposta
Falso.