A série sumk=2^infty 1k converge ou diverge? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=2^infty1k
O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e o teste da integral imprópria (ou teste de Cauchy–Maclaurin) para decidir se uma série da forma sum f(k) converge ou diverge, quando f é contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1x,
que é contínua, positiva e estritamente decrescente para x>=2. Pelo teste da integral imprópria, a série sumk=2^inftyf(k) converge se, e somente se, a integral imprópria
integral2^inftyf(x),dx
for convergente.

Passo 3

Vamos calcular a integral imprópria:
integral2^infty1x,dx =limttoinftyintegral2^t1x,dx =limttoinftyl[ln(x)r]2^t =limttoinftyl(ln(t)-ln(2)r) =infty
Como o valor da integral diverge (vai a infinito), pelo teste da integral a série
sumk=2^inftytfrac1k também diverge.

Resposta

A série diverge.

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